神经网络应该由若干神经元组成.

前面的每一个神经元都会给到一个参数，将传递的所有参数看作一个向量 \(\vec x\)，那么此神经元的净输入为:

其中 \(\omega\) 称为权重向量.

这里认为 \(x\) 是行向量，而 \(\omega\) 是列向量.

神经元还有一个激活函数 \(f(\cdot)\):

称为函数的活性值 。

一般来说，我们使用 Logistic 函数，即 \(\sigma(x) = \frac 1 {1 + exp(-x)}\) 作为激活函数.

激活函数

激活函数有很多很多种，一般来说要满足以下几点:

1. 连续且可导的非线性函数。
2. 函数本身和其导数要尽可能简单。
3. 值域要在一个合适的区间内

这里列举几种常见的函数.

Sigmoid 型

指一类两端饱和的 S 型曲线.

饱和： \(\lim_\limits{x \to -\infty} f'(x) = 0\) 称为左饱和，\(\lim_\limits{x \to \infty} f'(x) = 0\) 称为右饱和。 同时满足则称为两端饱和.

常见的 Sigmoid 型函数有 Logistic 和 Tanh.

• Logistic 函数

其导数:

• Tanh 函数

其可以看作缩放平移后的 \(\sigma\)，因为:

自然其导数:

实际上我们可以通过近似的方法去拟合这个函数，毕竟 \(e^x\) 也不是那么好算的.

• Hard-Logistic 和 Hard-Tanh 函数

或者利用 \(\min, \max\) 简化:

类似的:

ReLU

也就是 Rectified Linear Unit，线性修正单元，定义为:

也就是 \({\rm ReLU}(x) = \max(x, 0)\) 。

当然，因为可能出现 死亡 ReLU 问题，所以一般有如下变形:

如果 \(\gamma = 0\) 则退化为 \(\rm ReLU\) 函数，如果 \(\gamma < 1\)，那么也可以写为:

另一个变形是:

还有一个则是:

Swish 函数

这是一种自控门函数:

网络结构

网络结构分三种:

• 前馈网络
• 记忆网络
• 图网络

这里先讲述前馈网络.

这是一个前馈网络的示意图，其中第一层为输入层，最后一层为输出层.

而中间的那些层称为隐藏层。隐藏层可以有多个，而这里只画出了一个.

每一层有若干神经元，而两层间的神经元两两相连.

现在我们定义一些符号:

• \(L\) 表示总层数，注意这里输入层为第 \(0\) 层，不计入其中；输出层为第 \(L\) 层。
• \(M_l\) 表示第 \(l\) 层的神经元数量。
• \(f_l(\cdot)\) 表示第 \(l\) 层的激活函数。
• \(W^{(l)} \in \mathbb{R}^{M_l \times M_{l - 1}}\) 表示第 \(l - 1\) 层到第 \(l\) 层的权重矩阵（若干权重向量组成）。
• \(b^{(l)} \in \mathbb{R}^{M_l}\) 表示第 \(l\) 层的偏置。
• \(z^{(l)} \in \mathbb{R}^{M_l}\) 表示净输入。
• \(a^{(l)} \in \mathbb{R}^{M_l}\) 表示输出。

对于一组数据 \((\vec x, y)\)，前馈神经网络通过如下算法进行传播:

参数学习

参数学习可能略有点复杂，证明过程我懒得写成 \(\LaTeX\)，这里就省略了.

我们利用反向传播算法进行学习，其步骤如下:

• 选取一个数据，计算 \(a^{(l)}\) 和 \(z^{(l)}\)。
• 反向传播每一层的误差 \(\delta^{(l)}\)
• 计算每一层的偏导数，更新参数

显然的是 \(\delta^{(L)} = a^{(L)} - y\) 。

经过一番神秘的推导，我们可以得到:

其中 \(\cdot\) 表示元素一一相乘.

而计算偏导数的公式也不难:

也就是参数更新方式为:

但是值得注意的是，一般我们都会将 \(W^{(l)}\) 的第一列作为 \(b^{(l)}\)，也就是不分开，所以在代码实现上要好生注意！ 。

这是吴恩达机器学习 ex4 的部分代码:

function [J grad] = nnCostFunction(nn_params, ...
                                   input_layer_size, ...
                                   hidden_layer_size, ...
                                   num_labels, ...
                                   X, y, lambda)

% Theta1 25 x 401
% Theta2 10 x 26

Theta1 = reshape(nn_params(1:hidden_layer_size * (input_layer_size + 1)), ...
                 hidden_layer_size, (input_layer_size + 1));

Theta2 = reshape(nn_params((1 + (hidden_layer_size * (input_layer_size + 1))):end), ...
                 num_labels, (hidden_layer_size + 1));
                 
temp1 = Theta1;
temp2 = Theta2;
temp1(:, 1) = 0;
temp2(:, 1) = 0;

m = size(X, 1);
         
J = 0;
Theta1_grad = zeros(size(Theta1));
Theta2_grad = zeros(size(Theta2));

% forward propagation
A2 = sigmoid([ones(m, 1) X] * Theta1'); % m x 25
A3 = sigmoid([ones(m, 1) A2] * Theta2'); % m x 10

% caculate cost
Y = zeros(m, num_labels);
for i = 1:m
	Y(i, y(i)) = 1;
end
J -= sum(sum( log(A3) .* Y + log(1 - A3) .* (1 - Y) ));
J += lambda / 2 * (sum(sum(temp1 .* temp1)) + sum(sum(temp2 .* temp2)));
J /= m;

% Back Propagation

D1 = zeros(size(Theta1));
D2 = zeros(size(Theta2));

for i = 1:m
	a1 = X(i, :); % 1 x 400
	a2 = A2(i, :); % 1 x 25
	a3 = A3(i, :); % 1 x 10
	y = Y(i, :); % 1 x 10
	d3 = (a3 - y)'; % 10 x 1
	d2 = (Theta2' * d3) .* [1 a2]' .* (1 - [1 a2])'; % 26 x 1
	d2 = d2(2:end) ; % 25 x 1
	
	D1 += d2 * [1 a1];
	D2 += d3 * [1 a2];
end

Theta1_grad = (D1 + lambda * temp1) / m;
Theta2_grad = (D2 + lambda * temp2) / m;

% Unroll gradients
grad = [Theta1_grad(:) ; Theta2_grad(:)];

end

最后此篇关于机器学习笔记(3):神经网络初步的文章就讲到这里了,如果你想了解更多关于机器学习笔记(3):神经网络初步的内容请搜索CFSDN的文章或继续浏览相关文章，希望大家以后支持我的博客！ 。