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递归函数是直接调用自己或通过一系列语句间接调用自己的函数。递归在程序设计有着举足轻重的作用,在很多情况下,借助递归可以优雅的解决问题。本节主要介绍递归的基本概念以及如何构建递归程序。
通过本节学习,应掌握以下内容:
递归是一种解决问题的方法,它将问题不断的分为更小的子问题,通过处理普通的子问题来解决问题。递归函数是直接调用自己或通过一系列语句间接调用自己的函数。需要注意的是,递归函数每次调用自己时,都会将原问题进行简化,最终较小问题的序列必须收敛于基本情况,解决问题,终止递归。利用递归可以非常优雅的解决一些复杂问题。很多数学函数就是递归定义的,比如使用递归定义的阶乘函数:
n ! = { 1 , n = 0 n ( n − 1 ) ! , n > 1 n! = \begin{cases} 1, & {n=0} \ n(n-1)!, & {n>1} \end{cases}n!={1,n(n−1)!,n=0n>1
尽管这个定义是递归的,但它不是无限循环无法终止的。事实上,利用此函数可以非常简单的计算阶乘。例如计算 3 ! 3!3!,根据定义,有 3 ! = 3 ( 3 – 1 ) ! = 3 ( 2 ! ) 3!=3(3–1)! = 3(2!)3!=3(3–1)!=3(2!),接下来我们需要解决 2 ! 2!2!,再次应用定义 3! = 4(2!) = 3[(2)(2−1)!] = 3(2)(1!),继续此过程,最后我们需要计算 0 ! 0!0!,而根据定义 0 ! = 1 0!=10!=1,计算过程就结束了:
3 ! = 3 ( 2 ! ) = 3 ( 2 ) ( 1 ! ) = 3 ( 2 ) ( 1 ) ( 0 ! ) = 3 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) = 6 3! = 3(2!) = 3(2)(1!)= 3(2)(1)(0!)= 3(2)(1)(1)=63!=3(2!)=3(2)(1!)=3(2)(1)(0!)=3(2)(1)(1)=6
可以看到,递归定义并非是无限循环的,因为每次应用定义,程序都会将问题分解为更简单的子问题,在阶乘函数示例中,即为计算较小数的阶乘,直到计算0 ! 0!0!,这不需要再次应用递归即可求解。当递归到底时,我们得到一个可以直接计算的闭合表达式,也被称为递归的“基本情况
”。而函数调用自身来执行子任务时,被称为“递归情况
”。
递归函数是从数学中借鉴的一种重要的编程技术,通常使用递归可以极大的降低代码量,在许多可以分解为子问题的任务中非常有用,例如,排序、遍历和搜索等通常可以借助递归方法快速的给出解决方案。
和许多算法一样,递归同样有着需要遵守的重要原则,称为递归三原则:
需要注意的是,递归的核心思想并不是循环,而是将问题分解成更小、更容易解决的子问题。
递归在程序设计中有着十分重要的作用,以下是一些常用到递归的实际场景:
本节中,我们将从简单的列表求和问题入手,了解递归算法的使用方式,然后再了解如何解决经典递归问题——汉诺塔。
列表求和是十分简单的问题,用来了解递归算法的思想再合适不过了。例如我们需要计算列表 [1, 2, 3, 4, 5]
的和,如果利用循环函数计算,则可以编写如下代码计算列表中所有数之和:
def sum_list(list_data):
result = 0
for i in range(list_data):
result += i
return result
如果不使用循环,我们该如何解决这一问题呢?我们可以写出求和过程 ( ( ( ( 1 + 2 ) + 3 ) + 4 ) + 5 ) ((((1+2)+3)+4)+5)((((1+2)+3)+4)+5),而根据加法交换律,计算过程也可以写为 ( 1 + ( 2 + ( 3 + ( 4 + 5 ) ) ) ) (1+(2+(3+(4+5))))(1+(2+(3+(4+5)))),这时我们就可以很清楚的看到,列表的数据总和等于列表第一个元素加上其余元素:
s u m _ l i s t ( l i s t _ d a t a ) = l i s t _ d a t a [ 0 ] + s u m _ l i s t ( l i s t _ d a t a [ 1 : ] ) sum_list(list_data)=list_data[0]+sum_list(list_data[1:])sum_list(list_data)=list_data[0]+sum_list(list_data[1:])
使用 python
实现以上等式如下:
def sum_list(list_data):
if len(num_list) == 1:
return list_data[0]
else:
return list_data[0] + sum_list(list_data[1:])
在代码中,首先给出了函数退出的条件,这就是递归函数的基本情况,在示例中就是说,长度为 1 的列表,其元素和就是列表中的数。不满足退出条件,sum_list
则会调用自己,这就是递归函数的递归情况,也是其称为递归函数的原因。
在下图(a)中,可以看到求解 [1, 2, 3, 4, 5]
时的递归调用
过程,每次递归调用都是在解决一个更接近基本情况的问题,直到问题不能被进一步简化。
当问题无法简化时,开始拼接所有子问题的解,下图(b)展示递归函数 sum_list
在返回一系列调用结果时所进行的加法操作,当返回到顶层时,就解决了最初的问题。
汉诺塔(Towers of Hanoi
)是一道十分经典的谜题。它由三个塔和许多不同尺寸的圆盘组成,这些圆盘可以移动到任何杆上。开始时圆盘按尺寸升序排列在一个塔上,顶部的圆盘最小,底部圆盘最大。谜题的目标是将叠好的圆盘移动到另一个杆,且满足以下规则:
接下来我们讲解如何借助一根中间塔 Auxiliary
,将高度为 n
的一叠圆盘从起始塔 Source
移到终点塔 Destination
:
Destination
,将顶部的 n - 1
个圆盘从 Source
移动到 Auxiliary
;n
个圆盘从 Source
塔移动到终点塔 Destination
;Source
塔,将 n - 1
个磁盘从辅助塔 Auxiliary
移动到终点塔 Destination
。只要遵循汉诺塔的移动规则,就可以递归地执行上述步骤。最简单的汉诺塔是只有一个盘子,在这种情况下,只需将这个盘子移到终点柱子 Destination
即可,这就是基本情况。上述递归步骤通过逐渐减小高度 n
来向基本情况靠近,如下图所示:
算法的关键在于进行两次递归调用,第一次递归是将除了最后一个圆盘以外的其他所有圆盘从 Source
塔移到辅助塔 Auxiliary
。然后将最后一个圆盘移到终点塔 Destination
。第二次递归是将圆盘从 Auxiliary
移到 Destination
:
def towersOfHanoi(number, source=1, destination=3, auxiliary=2):
if number >= 1:
towersOfHanoi (number - 1, source, auxiliary, destination)
print("Move disk %d from tower %d to tower %d" % (number, source, destination))
towersOfHanoi (number - 1, auxiliary, destination, source)
towersOfHanoi(number=3)
程序输出如下所示:
Move disk 1 from tower 1 to tower 3
Move disk 2 from tower 1 to tower 2
Move disk 1 from tower 3 to tower 2
Move disk 3 from tower 1 to tower 3
Move disk 1 from tower 2 to tower 1
Move disk 2 from tower 2 to tower 3
Move disk 1 from tower 1 to tower 3
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