math - 需要给定排名和底池金额的奖品奖励功能

Question

我需要一个公式来为比赛的参与者分配奖金比例。

前 n 名获奖者应根据他们的排名顺序获得总奖金的比例 x。

但是，头等奖得主应该得到不成比例的奖金，例如给定 n=3 和 x=2500，头号获胜者将获得订单上的 1500 美元，接下来的 750 美元，最后的 250 美元。 n 和 x 显然可以变化。

给定 n、x 和给定参与者的 rank 什么样的函数可以返回一定比例的 x 对于 rank，rank 的所有可能值的总和(以 n 为界)将等于 x ?哪个是单调的，但不是线性的？

Answer 1

Is there any way I can control the degree of slope? – ʞɔıu

是的。使用:

其中 z 是大于一的比例因子，r 是排名，n 是收件人数量，x 是总奖金。

例如，这里将 10,000 美元分配给 12 个人，每人得到前一个的 2 倍:

{5001.22、2500.61、1250.31、625.153、312.576、156.288、78.1441、39.072、19.536、9.76801、4.884、2.442}

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你含蓄地问我是如何推导出来的。请允许我向您展示，使用 WolframAlpha .

我首先用不等式来描述三个人的问题:

{a + b + c == x, x > a > b > c > 0, z > 1, a == b z, b == c z}

I then ask WolframAlpha to solve this. Reduce 是 WolframAlpha 接受的 Mathematica 命令。

这给出了结果:

我也试过四个人的情况。根据这些结果，我得出的结论是:

(x*z^(n - r))/Sum[z^i, {i, 0, n - 1}]

And asked WolframAlpha to evaluate it ，返回:

现在您已经看到幕后情况了。 ;-)