haskell - 将 `Functor` 类泛化为 `MultiFunctor`？

Question

我正在从“Free Applicative Functors”中学习。当然，我要问的问题有点偏离论文的主要思想，但仍然...

...在第 6 页上，尝试将 Functor 泛化为 MultiFunctor:

class Functor f ⇒ MultiFunctor f where
    fmap0 :: a → f a
    fmap1 :: (a → b) → f a → f b
    fmap1 = fmap
    fmap2 :: (a → b → c) → f a → f b → f c
    ...

从范畴论的角度来看，我看不出这个定义如何合理:fmap2 似乎只是一个双仿函数，即定义在 product category 上的仿函数。 .根据定义，产品类别由所有可能的有序对象对给出，态射也是对，因此: fmap2::(a -> a', b -> b') -> (fa, f b) -> (f a', f b') 看起来和感觉起来更合适。

我可以理解站在 (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c 选择后面的思考方式:这只是采取已知的最明显的方式(a -> b) -> f a -> f b 签名并强制它使用二进制函数，而不是一元函数。但是 MultiFunctor(由上面的定义给出)实际上是范畴论所期望的意义上的双/多仿函数吗？

附言我很好奇的原因是，虽然论文指出可以.

Answer 1

我认为您所采用的范畴论角度是错误的。有一个 Bifunctor 类(带有 (a -> b) -> (c -> d) -> f a c -> f b d 类型的映射)，但这不是这个概括。如果对某些函数进行取消柯里化(Currying)，那么 fmap2 的签名看起来像:

fmap2 :: ((a,b) -> c) -> (f a, f b) -> f c

考虑到 fmap2 id ，我们看到我们正在实现的不是双仿函数而是笛卡尔仿函数(即笛卡尔类别之间的幺半群仿函数)，其中 fmap2 id :: (f a, f b) -> f (a,b)是自然转变:

然后可以从这个 Multifunctor 得到一个应用程序概括。只需更改 pure对于 fmap0和 (<*>)对于 fmap2 ($) .