least-squares - 垂直线的最小二乘方程

Question

给定以下二维点:

213 106.8

214 189

214 293.4

213 324

223 414

我想找到穿过它们的最小二乘垂直轴线的方程。我的计划是得到一个线方程，这样我就可以测试后续点到最小二乘线的距离。

谢谢

Answer 1

严格来说，垂直线没有定义最小二乘拟合(因为每个点的误差是平行于 Y 轴测量的)。

但是，如果交换 X 和 Y，则可以找到最好的水平线正方形适合。它简单地计算出 Y 坐标值的平均值:

水平线的方程是 y = b。

每个点 (x_i, y_i) 的误差为 (y_i - b)。

误差的平方和为 SSE = sum( (y_i - b)²)。我们希望找到最小化 SSE 的 b 值。对 SSE 求偏导数关于 b 并将其设置为零:

总和(-2(y_i - b)) = 0

简化，

总和(y_i) - Nb = 0

和

b = 总和(y_i)/N

因此，在您的情况下，对 X 坐标进行平均可以得到 X 坐标最适合您的点的垂直线。