haskell - `arr fst` 是如何自然转换的？

Question

我问了this question不久前。这是关于以下箭头法则:

arr fst . first f = f . arr fst -- (.) :: Category k => k b c -> k a b -> k a c

在帖子下评论Asad Saeeduddin用自然变换来解释它。我想检查一下他们的解释是否正确，并将其与 Bartosz Milewski's article on natural transformations 进行比较.

因此，自然变换的定义是:

我们有两个类别 C 和 D 以及仿函数 F, G : C ~> D。自然变换 α 是 D 中的一组箭头，使得:

1. 这些箭头从 F 的结果指向 G 的结果。也就是说，C 中的每个对象 a 都存在一个箭头(称为 α 的组件 a) α_a::F a ~> G a.
2. 对于每个 f::a ~> b，a 和 b 都是 C 中的对象，成立: Gf。 α_a = α_b 。 Ff。这就是自然。

基本上，我们需要弄清楚我们的例子中有哪四个变量:C、D、F 和G.

据我所知:

• C和D是同一类任意类型，k a b是其中的箭头，其中k 是我们正在使用的 Arrow 实例。因此，F 和G 是内仿函数。

• F 是 (, c) 而 G 是 Identity。换句话说，如果我们不再使用类型，我们将 F 映射到 first 并将 G 映射到 id。从类型的角度考虑NOT可能会更容易，因为 Category 和 Arrow 类帮助我们构造类别的箭头，而不是对象

这样对吗？

此外，Bartosz Milewski wrote those ideas down像那样:

fmap f . alpha = alpha . fmap f

据我所知，我们需要一个更通用的形式来实现我们的目的，如此处 alpha::forall a。 F a -> G a 仅将 Hask 作为其工作的类别进行处理。还是我错了？ fmap在这幅图中的哪个位置？

Answer 1

As far as I get it:

• C and D are the same category of arbitrary types, k a b being arrows in it, where k is the Arrow instance we are working with.Therefore, F and G are endofunctors.

• F is (, c) and G is Identity. In other words, if we no longer work with types, we map F with first and G with id.[...]

是的，就是这样。 arr fst::k (b, c) b 中 k 和 c 的每个选择都为我们提供了 ( , c) endofunctor 和 k 类中的恒等仿函数。执行特化给我们一个看起来更像自然转换的签名:

arr @K (fst @_ @C) :: forall b. K (b, C) b

Moreover, Bartosz Milewski wrote those ideasdownlike that:

fmap f . alpha = alpha . fmap f

As far as I get it, we need a more general form for our purposes ashere alpha :: forall a. F a -> G a deals with Hask only as thecategory it works with. Or am I wrong? Which place does fmap have inthis picture?

也正确。 fmap 必须被所涉及的仿函数的任何适当的态射映射所取代。在您的示例中，这些恰好是 first 和 id，正如您之前注意到的那样，这让我们回到了我们开始的箭头法则。

(至于用更一般的类比替换fmap，Functor的方法，它从特定的仿函数态射映射中抽象出来，需要进行适当的安排，以便我们可以在 Haskell 代码中表达涉及非 Hask 类别的仿函数。您可能想看看 constrained-categories 和 data-category 是如何处理的。)