r - 如何计算两个分布的卷积的 x 值？

Question

(这个问题可能适合 https://stats.stackexchange.com/ ，但我认为这只是你如何计算我在 R 中想要的东西，这是我的问题)。

我正在尝试将多个分布加在一起，然后查看生成的分布。我将通过一个使用正态分布随机变量 p1 和 p2 的简单示例来说明我的问题。

set.seed(21)
N <- 1000

p1 <- rnorm(N, mean = 0, sd = 1)
p2 <- rnorm(N, mean = 10, sd = 1)

我们可以绘制:

data.frame(p1, p2) %>%
  gather(key="dist", value="value") %>%
  ggplot(aes(value, color=dist)) + geom_density()

我可以使用 convolve 将这些分布加在一起。好的，那很好。但我想不通的是，如何用适当的 x 值绘制分布的总和。在我看到的示例中，由于缺乏更好的工作，看起来 x 值是以一种看起来不“准确”的方式手动添加的。看这个Example .

我可以将它们“加”在一起并绘制:

pdf.c <- convolve(pdf1.y, pdf2.y, type = "open")

plot(pdf.c, type="l")

我的问题是如何获得新分布的相应 x 值。从基础统计的角度来看，我确信我遗漏了一些东西。

pdf1 和 pdf2 的附录:

set.seed(21)
N <- 1000

p1 <- rnorm(N, mean = 0, sd = 1)
p2 <- rnorm(N, mean = 10, sd = 1)

pdf1.x <- density(p1)$x
pdf2.x <- density(p2)$x

pdf1.y <- density(p1)$y / sum(density(p1)$y)
pdf2.y <- density(p2)$y / sum(density(p2)$y)

df1 <- data.frame(pdf.x = pdf1.x, pdf.y = pdf1.y, dist = "1", stringsAsFactors = FALSE)
df2 <- data.frame(pdf.x = pdf2.x, pdf.y = pdf2.y, dist = "2", stringsAsFactors = FALSE)

df <- bind_rows(df1, df2)

Answer 1

假设 p1 和 p2 被均匀离散化，连续 x 值之间的间隔 dx 相同。 (我看到你在随机点离散化了 p1 和 p2——这不一样，而且，没有再考虑它，我没有答案。)设 x1 = x1_0 + (k - 1) times dx, k = 1, 2, 3, ..., n1 是 p1 离散化的点，x2 = x2_0 + (k - 1) times dx, k = 1, 2, 3, ..., n2 是 p2 被离散化的点。

每个点 xi_k = xi_0 + (k - 1) 乘以 dx 代表宽度为 dx 和高度为 pi(xi_k) 的条的中心点，i = 1, 2。因此条的质量是 dx 乘以 pi (xi_k)，并且当 dx 接近 0 时所有条的总质量接近 1。这些质量是卷积的值。如果离散质量归一化为1，那么它们的卷积也将归一化为1。

要非常小心，分布离散化的范围是 xi_0 - dx/2 到 xi_0 + (ni - 1) 乘以 dx + dx/2。计算卷积后，结果的范围同样是 -dx/2 和 +dx/2，分别是第一个和最后一个点。

卷积有n = n1 + n2 - 1个点，即x1_0 + x2_0 + (k - 1)次dx，k = 1, 2, 3, ..., n1 + n2 - 1。第一个点是x1_0 + x2_0(即 p1 的第一个点加上 p2 的第一个点)，最后一个点是 x1_0 + x2_0 + (n1 + n2 - 2) 次 dx = (x1_0 + (n1 - 1) 次 dx) + (x2_0 + ( n2 - 1) 乘以 dx)(即 p1 的最后一个点加上 p2 的最后一个点)。由此，您可以通过 seq 函数或类似函数构造与卷积对应的 x 值。