python - 从 Schittkowski DAE 测试套件解决 PENDULUM2？

Question

我只是试图解决来自 Schittkowski DAE 测试套件 ( http://klaus-schittkowski.de/mc_dae.htm ) 的 DAE 问题之一，但没有成功 (Python 3.7)。

m=GEKKO(remote=False)
m.time = np.linspace(0.0,100.0,100)
m1 = m.Param(value=1.0) 
g = m.Param(value=9.81)
s = m.Param(value=1.0)

m.options.IMODE=4
m.options.NODES=3
#m.options.RTOL=1e-3

#Initial values t=0
x = m.Var(value=0.0)
y = m.Var(value=-s)
v = m.Var(value=1.0)
w = m.Var(value=0.0)
l = m.Var(value=(m1*(1.0+s*g)/2.0/s**2))

m.Equation(x.dt() == v) 
m.Equation(y.dt() == w)
m.Equation(m1*v.dt() == -2*x*l)
m.Equation(m1*w.dt() == -m1*g - 2*y*l)
m.Equation(x*v  == -y*w)           

m.solve(disp=False)
plt.plot(m.time,x)

---------------------------------------------------------------------------
Exception                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-7-a059f1ac5393> in <module>
     23 m.Equation(x*v  == -y*w)
     24 
---> 25 m.solve(disp=False)
     26 plt.plot(m.time,x)

C:\WPy64-3771\python-3.7.7.amd64\lib\site-packages\gekko\gekko.py in solve(self, disp, debug, GUI, **kwargs)
   2172             #print APM error message and die
   2173             if (debug >= 1) and ('@error' in response):
-> 2174                 raise Exception(response)
   2175 
   2176             #load results

Exception:  @error: Solution Not Found

我只是尝试增加 m.time 中的点数和 m.options.NODES=3 中的节点数。更改 m.options.RTOL 也无济于事。

按照有关解决找不到解决方案问题的建议，我设法得到了一个。这是代码。

m=GEKKO(remote=False)
m.time = np.linspace(0.0,100.0,500)
m1 = m.Param(value=1.0) 
g = m.Param(value=9.81)
s = m.Param(value=1.0)

m.options.IMODE=4
m.options.NODES=7

#Initial values t=0
x = m.Var(value=0.0)
y = m.Var(value=-1.0)
v = m.Var(value=1.0)
w = m.Var(value=0.0)
l = m.Var(value=4.405)

m.Equation(x.dt() == v) 
m.Equation(y.dt() == w)
m.Equation(m1*v.dt() == -2*x*l)
m.Equation(m1*w.dt() == -m1*g - 2*y*l)
m.Equation(x*v  == -y*w)           

# initialize to get a feasible solution
m.options.COLDSTART=2
m.solve(disp=False)

# optimize, preserving the initial conditions (TIME_SHIFT=0)
m.options.TIME_SHIFT=0
m.options.COLDSTART=0
m.solve(disp=False)
plt.plot(m.time,x)

结果图是

振荡行为将随着计算时间行为的时间步长或配置节点的增加而变化。另一方面，在 Julia 中使用以下代码解决相同的问题

m1 = 1.0 
g = 9.81
s =1.0
u₀ = [0.0,  -s,  1.0,   0.0,      m1*(1.0+s*g)/2.0/s^2]
du₀ = [1.0,0.0,0.0,0.0,-g + 2.0 *s*(m1*(1.0+s*g)/2.0/s^2) ]
tspan = (0.0,100.0)
function f(out,du,u,p,t)
    x,y,v,w,l = u
  out[1] = v - du[1]
  out[2] = w - du[2]
  out[3] = -2*x*l/m1 - du[3]
  out[4] = -g - 2.0*y*l/m1 - du[4]
  out[5] = x*v + y*w  
end
#using DifferentialEquations
using Sundials
differential_vars = [true,true,true,true,false]
prob = DAEProblem(f,du₀,u₀,tspan,differential_vars=differential_vars)
sol = solve(prob,IDA())
n=5251
u1=zeros(n)
u2=zeros(n)
u3=zeros(n)
u4=zeros(n)
u5=zeros(n)
for i=1:n u1[i],u2[i],u3[i],u4[i],u5[i] = sol.u[i] end
plot(sol.t,u1)

将在相当短的时间内给出以下情节。另一方面，振荡行为几乎无法识别。在gekko中，我认为需要相当多的时间步长和相当长的计算时间。我没试过。

似乎没有关于如何在 Gekko 中解决此类问题的一般建议。我希望有人对此发表评论。

最好的问候，拉多万

Answer 1

Gekko 报告您请求的时间步长并且不填写额外的点。您正在观察混叠，它的模拟采样频率与振荡系统的自然频率不同。要解决此问题，您可以增加采样频率或匹配自然频率，以便始终绘制最小值和最大值。这是一个包含 5000 个数据点的解决方案。当 IMODE=7 时，Gekko 会随着视界时间的增加而线性缩放。

from gekko import GEKKO
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
m=GEKKO(remote=False)
m.time = np.linspace(0.0,100.0,5000)
m1 = m.Param(value=1.0) 
g = m.Param(value=9.81)
s = m.Param(value=1.0)

m.options.IMODE=7
m.options.NODES=3

#Initial values t=0
x = m.Var(value=0.0)
y = m.Var(value=-1.0)
v = m.Var(value=1.0)
w = m.Var(value=0.0)
l = m.Var(value=4.405)

m.Equation(x.dt() == v) 
m.Equation(y.dt() == w)
m.Equation(m1*v.dt() == -2*x*l)
m.Equation(m1*w.dt() == -m1*g - 2*y*l)

# Index-3 DAE
#m.Equation(x**2+y**2==1)

# Index-2 DAE
m.Equation(x*v  == -y*w)           

m.solve(disp=False)
plt.plot(m.time,x)
plt.show()

使用IMODE=7，您也不需要初始化步骤。如果您正在解决参数优化问题，那么您将受益于初始化步骤。另一个建议是使用 index-3 DAE 形式而不是 index-2 DAE 形式:

# Index-3 DAE
m.Equation(x**2+y**2==1)

# Index-2 DAE
# m.Equation(x*v  == -y*w) 

在文章 Initialization strategies for optimization of dynamic systems 中有更多关于 DAE 索引的信息以及使用 GEKKO 等更高索引 DAE 求解器与仅限于索引 1 或索引 2 Hessenberg 形式的 DAE 求解器的优势.

此案例研究没有区别，但如果使用索引 0 (ODE) 形式，数值漂移可能会成为一个问题。