algorithm - julia 中排名不满的矩阵的尺寸缩减

Question

我有一个 N×N 通用矩阵 H，秩为 n( 有什么办法可以从H得到一个n×n阶的矩阵吗？

例如，

      |1     2     3|
  H = |4     8     6|
      |0     0     1|

具有三个特征值0,1,9，其秩为2。我想得到 一个 2 阶的 2×2 矩阵，它对应于被 1,9 的特征向量截断的特征空间。

Answer 1

我们有一个 3x3 矩阵 H已知其排名为 r < 3 :

1 2 3
4 8 6
0 0 1

一个人可以获得一个nxn由 H 的行和列的交集组成的矩阵排名为 n通过计算 reduced row echelon form (RREF)的 H (也称为行规范形式)。

这样做之后，对于每个 n行索引 i RREF 中将有一列包含 1在行 i (即，索引为 i 的行)和所有其他行中的零。可以看到here H 的 RREF如下。

1 2 0
0 0 1
0 0 0

作为列 0 (即，索引为 0 的列)在 RREF 中有一个 1在行 0和所有其他行和列中的零 2有一个 1在行 1和所有其他行中的零，并且没有其他列具有 1在一行中为零，在所有其他行中为零，我们得出结论:

• H排名2 ;和
• nxn由 H 中的元素组成的矩阵在 0 行中和 1和列 0和 2排名 n .

这里是nxn秩为 n 的矩阵因此发现是

1 3
4 6

无论 H 的大小如何，都遵循相同的过程(不需要是正方形)和 H 的等级不需要提前知道。