python - 为什么/如何 (-1) ** 0.5 不准确？

Question

Python 计算 imaginary unit i = sqrt(-1) 不准确:

>>> (-1) ** 0.5
(6.123233995736766e-17+1j)

应该正好是 1j(Python 称它为 j 而不是 i)。 -1 和 0.5 都被精确地表示，结果也可以被精确地表示，所以没有硬性的理由(即 floating point limitations )为什么 Python 不能正确地表示它。它可以。而 i=sqrt(-1) 作为 定义 令人相当失望的是 Python 弄错了。那为什么会这样呢？它如何计算不准确的结果？

Answer 1

当需要复杂的算法时，您的 Python 实现可能会将 x^y 计算为 e ^{em>y ln x}，就像复杂的 C 函数 cexp 和 clog 一样。这些又可能是用真实函数计算的，包括 ln、sqrt、atan2、sin、cos ，和pow，但细节我们不用关心。

ln −1 是 πi。但是，π 不能用浮点格式表示。您的 Python 实现可能使用 IEEE-754“ double ”格式，也称为 binary64。在该格式中，最接近 π 的可表示值是 3.141592653589793115997963468544185161590576171875。所以 ln −1 可能计算为 3.141592653589793115997963468544185161590576171875 i。

那么 y ln x = .5 • 3.141592653589793115997963468544185161590576171875 i 是 1.5707963267948965579989817342720925807.95238787i

e^{1.5707963267948965579989817342720925807952880859375 i} 也不能完全表示。其真实值约为 6.123233995736765886130329661375001464640•10⁻¹⁷ + .9999999999999999999999999999999981253003 i.

The nearest representable value to 6.123233995736765886130329661375001464640•10⁻¹⁷ is 6.12323399573676603586882014729198302312846062338790031898128063403419218957424163818359375•10⁻¹⁷, and the nearest representable value to .9999999999999999999999999999999981253003 is 1, so the calculated result is 6.12323399573676603586882014729198302312846062338790031898128063403419218957424163818359375•10⁻¹⁷ + 1 i.