python - 求解平方奇异系统？

Question

我有一个方奇异系统 A 和向量 b，它在 A 的范围空间中。因为 b 在 A 的范围空间中并且 A 是奇异的，所以有无穷多个解。现在我想要的是 Ax=b 的一些解，不一定是最小范数。由于我的系统 A 很大，我想避免基于 svd 的解决方案(寻找伪逆)。我正在考虑简单地进行 LU 分解并将自由变量设置为 0，但是当 A 是单数时，我尝试的所有方法都无法为我提供解决方案。
我试过 scipy.linalg.solve 但这要求系统是非奇异的。我也尝试过 scipy lu_factor 和 lu_solve 但在执行 lu_factor 时它给了我运行时警告说“对角线数 %d 正好为零。奇异矩阵。”。
所以我的问题是 - 是给定 b 在 A 的范围空间中，有一种方法(使用 scipy)使用 LU 分解找到奇异系统的解决方案。非常感谢任何建议。非常感谢。

Answer 1

试试 scipy.linalg.lu()。它计算矩阵的旋转 LU 分解。

    import pprint
    import scipy
    import scipy.linalg   # SciPy Linear Algebra Library

    A = scipy.array([ [7, 3, -1, 2], [3, 8, 1, -4], [-1, 1, 4, -1], [2, -4, -1, 6] ])
    P, L, U = scipy.linalg.lu(A)

    print "A:"
    pprint.pprint(A)

    print "P:"
    pprint.pprint(P)

    print "L:"
    pprint.pprint(L)

    print "U:"
    pprint.pprint(U)

代码的输出如下:

   A:
   array([[ 7,  3, -1,  2],
          [ 3,  8,  1, -4],
          [-1,  1,  4, -1],
          [ 2, -4, -1,  6]])
   P:
   array([[ 1.,  0.,  0.,  0.],
          [ 0.,  1.,  0.,  0.],
          [ 0.,  0.,  1.,  0.],
          [ 0.,  0.,  0.,  1.]])
   L:
   array([[ 1.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
          [ 0.42857143,  1.        ,  0.        ,  0.        ],
          [-0.14285714,  0.21276596,  1.        ,  0.        ],
          [ 0.28571429, -0.72340426,  0.08982036,  1.        ]])
   U:
   array([[ 7.        ,  3.        , -1.        ,  2.        ],
          [ 0.        ,  6.71428571,  1.42857143, -4.85714286],
          [ 0.        ,  0.        ,  3.55319149,  0.31914894],
          [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  1.88622754]])