SageMath - 预合成向量值函数

Question

给定一个从 R 到 R^n 的函数，我想通过预组合定义一个新函数，例如如下

alpha(x) = [e^x,e^(-x)]
beta(x) = alpha(-x+2)

但是尝试以这种方式这样做会引发错误“无法将 (e^(-x + 2), e^(x - 2)) 转换为符号表达式”

现在是类似但更简单的代码版本

alpha(x) = e^x
beta(x) = alpha(-x+2)

工作完美，所以问题是由于 alpha 是多值的。

原始代码的以下变体完全符合我的要求

alpha(x) = [e^x,e^(-x)]
beta(x) = [alpha[0](-x+2),alpha[1](-x+2)]

但要求我假设 alpha 的长度，这是不可取的。以及该问题的明显解决方案

alpha(x) = [e^x,e^(-x)]
for i in range(0,len(alpha)):
  beta[i](x) = alpha[i](x)

或任何变体随即抛出错误“无法分配给函数调用”

我的问题如下:有没有办法做这个预合成？特别是不假设 alpha 的长度。我控制函数 alpha 和 beta 的定义方式，因此如果有另一种定义它们的方法(例如使用 lambda 符号或类似的方法)让我这样做，那也是可以接受的。但请注意，我想在我的代码中的某个时刻做一些等效于以下的事情... + beta.derivative(x).dot_product( ...

Answer 1

如题中定义，alpha不是符号函数返回向量，而是可调用函数的向量。

下面我们描述另外两种定义 alpha 和 beta 的方法，将 alpha 定义为符号环上的向量，并通过替换定义 beta，或定义 alpha 和beta 作为 Python 函数。

问题中的原始方法:

sage: alpha(x) = [e^x, e^-x]

sage: alpha
x |--> (e^x, e^(-x))
sage: alpha.parent()
Vector space of dimension 2 over Callable function ring with argument x

在符号环上使用向量

sage: alpha = vector([e^x, e^-x])

sage: alpha
(e^x, e^(-x))
sage: alpha.parent()
Vector space of dimension 2 over Symbolic Ring

sage: beta = alpha.subs({x: -x + 2})
sage: beta
(e^(-x + 2), e^(x - 2))

使用 Python 函数

sage: def alpha(x):
....:     return vector([e^x, e^-x])
....:
sage: def beta(x):
....:     return alpha(-x + 2)
....:
sage: beta(x)
(e^(-x + 2), e^(x - 2))

一些相关资源。

查询:

• Ask Sage query: vector function

问题:

• Ask Sage question 8066: Composite function
• Ask Sage question 24943: Define vector valued function of a vector of symbolic variables?
• Ask Sage question 43550: vector constants and vector functions
• Ask Sage question 9375: functions with vector inputs
• Ask Sage question 23758: Defining a function of vector variables
• Ask Sage question 36127: Plotting 2d vector fields – how to delay function evaluation
• Ask Sage question 10704: How to create a vector function (mapping)?
• Ask Sage question 8924: Basic vector functions in Sage
• Ask Sage question 30025: How can I define a function with quaternion argument, and other non-vector input
• Ask Sage question 47710: Vector valued function: unable to convert to symbolic expression
• Ask Sage question 36159: apply functions iteratively (modified re-post)

门票:

• Sage Trac ticket 11507: make f(x,y,z)=vector make a vector-valued function
• Sage Trac ticket 11180: Allow vector input to functions taking vectors
• Sage Trac ticket 28640: Manifolds: Vector Valued Forms