r - 曲面 R 的方程

Question

在航空工程中，跑道平面以上的高度 (Z) 与:

1. 从起飞开始的下降距离 (X)
2. 满载飞机使用的跑道长度 (Y)。

我们希望从已知 x 和 y 值的观察点 z 的数组中找到 z=f(x,y)。 z 在 x 和 y 中是线性的。当前的解决方案涉及拟合函数族 z=f(x)。然后，使用族中的系数，进行二次回归得到 z=f(x,y)。我的猜测是有更好的方法来做到这一点。这段代码已经有一段时间了，可能是拼凑在一起的，从来没有重新考虑过。观察结果如下所示: climb performance

获取 f(x,y) 的代码如下:

X <- seq(6000,10000,1000);
Y <- seq(4000,6000,500);

Z <- c(145, 200, 254, 307, 360,
       118, 165, 213, 260, 310,
        90, 130, 172, 213, 254,
        67, 102, 137, 175, 210,
        50,  80, 110, 140, 170);
dim(Z) <- c(5,5);

Fxy <- coef( lm( t( coef( lm( Z ~ X ) ) ) ~ Y ) );  #2x2 matrix

x <- c(1,6000);  # test values
y <- c(1,4000);

z <- y %*% Fxy %*% x;
z;

这个解决方案工作正常，但似乎应该有一种方法可以在没有顺序回归的情况下做到这一点。值得一提的是，X 和 Y 的长度并不总是相同的，Z 也不总是正方形的。我们这里没有 R 奇才，但有许多好奇的人将其与各种公式一起使用，包括二次函数和指数函数。如果有一种“正确”的方式来做到这一点，我们会在我们所有的代码中使用它。

谢谢。

Answer 1

如果您的响应 Z 与 x 或 y 呈线性关系，则可以使用交互项 x:y 执行多元线性回归。

# make a data frame containing all observations
df <- expand.grid(x = X, y = Y)
df$z <- c(Z)

# fit a linear model with interaction term
fit <- lm(z ~ x + y + x:y, data = df)
# alternatively
fit <- lm(z ~ x * y, data = df) # see ?lm

# Call:
# lm(formula = z ~ x + y + x:y, data = df)
# 
# Coefficients:
# (Intercept)            x            y          x:y  
# -2.703e+02    1.011e-01    2.276e-02   -1.188e-05  


# predict
df.test <- cbind.data.frame(x = x, y = y)
predict(fit, newdata = df.test)

# the results is the same: one value for one obs
# 1         2 
# -270.1561  142.3600 

此外，如果你的数据包含缺失值(不等长，不正方形......)，我认为将它们组织成数据框会更好地管理你的数据，其中每一行代表相关的记录观察。