recursion - 如何定义我自己的(递归)Coq 符号？

Question

我已经开始大量使用 Ensemble s 现在，因为它们更灵活。为了帮助我解决这个问题，我试图定义一些方便的符号。下面比较简单，例如:

Notation "a ∈ S" := (@In _ S a)  (at level 80).

我可以为其他二元集运算符添加类似的一堆。

但是我在使用这样的符号时遇到了很多麻烦:

Notation "∀ x ∈ S , P" := (forall x, (x ∈ S) -> P)  (at level 90).

它被接受，但每当我尝试使用它时，我都会收到此错误:

Syntax error: "∈" expected after [constr:operconstr level 200] (in [constr:operconstr]).

问题一:我究竟做错了什么？

对于奖励积分，你能告诉我如何为它定义一个递归符号吗？我已经尝试过了，但它似乎给了我一系列全新的问题。这是我的尝试，对库定义的直接编辑:

Notation "∀ x .. y ∈ S , P" :=
  (forall x, (x ∈ S) -> .. (forall y, (y ∈ S) -> P) ..)
  (at level 200, x binder, y binder, right associativity).

我不明白为什么 Coq.Unicode.Utf8_core 中的库版本应该解析而我的不应该，但是:

Error: Cannot find where the recursive pattern starts.

问题二:见问题 1。

Answer 1

上面的递归符号不起作用的原因是活页夹(在本例中为 x 和 y )只能用于右侧的两个特定位置之一 [ see manual ]:

在 fun [ ] => ... 中的活页夹位置术语，或

在 forall [ ], ... 中的活页夹位置学期。

因此，我不能再次将它们用作术语。这对我来说似乎有些武断，因为活页夹是其绑定(bind)上下文中的术语。但是，您几乎可以使用 fun 做任何您想做的事情。路线:

Definition all_in_E `(E: Ensemble T, P: T → Prop) : T → Prop :=
  (λ x: T, (x ∈ E) → (P x)).

Notation "∀ x .. y ∈ S , P" :=
  ( all ( all_in_E S ( fun x => .. ( all ( all_in_E S ( fun y => P ))) .. )))
  (at level 200, x closed binder, y closed binder, right associativity).

Definition ex_in_E `(E: Ensemble T, P: T → Prop) : T → Prop :=
  (λ x: T, (x ∈ E) ∧ (P x)).

Notation "∃ x .. y ∈ S , P" :=
  ( ex ( ex_in_E S ( fun x => .. ( ex ( ex_in_E S ( fun y => P ))) .. )))
  (at level 200, x closed binder, y closed binder, right associativity).

功能 all_in_E和 ex_in_E取一个谓词 (a fun ) 并用给定集合中成员资格的条件来扩充它 E .它需要很长的路要走，但它确实有效。

这是带有示例的完整工作代码块:

Require Export Coq.Unicode.Utf8.
Require Export Coq.Sets.Ensembles.

Generalizable All Variables.

Notation "a ∈ S" := (@In _ S a)            (at level 70, no   associativity).
Notation "A ∪ B" := (@Union _ A B)         (at level 50, left associativity).
Notation "A ∩ B" := (@Intersection _ A B)  (at level 40, left associativity).

Definition all_in_E `(E: Ensemble T, P: T → Prop) : T → Prop :=
  (λ x: T, (x ∈ E) → (P x)).

Notation "∀ x .. y ∈ S , P" :=
  ( all ( all_in_E S ( fun x => .. ( all ( all_in_E S ( fun y => P ))) .. )))
  (at level 200, x closed binder, y closed binder, right associativity).

Definition ex_in_E `(E: Ensemble T, P: T → Prop) : T → Prop :=
  (λ x: T, (x ∈ E) ∧ (P x)).

Notation "∃ x .. y ∈ S , P" :=
  ( ex ( ex_in_E S ( fun x => .. ( ex ( ex_in_E S ( fun y => P ))) .. )))
  (at level 200, x closed binder, y closed binder, right associativity).

Section TestingEnsembleQuantifiers.
  Definition A_nat := Full_set nat.
  Definition E_nat := Empty_set nat.
  Definition F_nat := Singleton _ 5.

  Require Import Coq.Arith.Gt.

  Example exists_in_intersection: ∃ x ∈ A_nat ∩ F_nat , x = 5.
    unfold ex_in_E.
    exists 5.
    split ; trivial.
    split.
    apply Full_intro.
    apply In_singleton.
  Qed.

  Example forall_in_union: ∀ x ∈ F_nat ∪ E_nat, x ≥ 5.
    unfold all_in_E, all.
    intros.
    destruct H ; destruct H.
    auto with arith.
  Qed.
End TestingEnsembleQuantifiers.

另请注意集合运算符的新优先级，与现有优先级 [ see manual 相比更有意义。 ]。