math - `atan` 函数在定点的逼近

Question

我必须做一些需要使用三角函数的计算，尤其是 atan一。代码将在 Atmega328p 上运行，为了效率，我不能使用 float s:我使用的是定点数。因此，我不能使用标准 atan功能。

我有一个函数，它采用定点格式 s16_10(有符号，16 位宽度，指向第 10 个位置)的值，并返回一个 s16_6 格式。输入将介于 0 和 1 之间(因此为 0 和 210)，因此输出(以度为单位)将介于 -45 和 45 之间(因此为 -45 * 26 和 45 * 26)。

假设y是不动点，y的s16_6表示，圆弧的实角，x如atan(x) = y , 和 X 是 x 的 s16_10 表示。我从近似 atan 开始函数，从 (0,1) 到 (-45,45) 用一个 4 次多项式，发现我们可以使用:

y ~= 8.11 * x^4 - 19.67 * x^3 - 0.93 * x^2 + 57.52 * x + 0.0096

这导致:

Y ~= (8.11 * X^4)/2^34 - (19.62* X^3)/2^24 - (0.93 * X^2)/2^14 + (57.52*X)/2^4 + 0.0069 * 2^6

我在这里卡住了......一方面，计算 X^4将导致定义间隔的五分之一为 0，另一方面，{3, 2, 1} 中的 2n4n 通常也会导致零值......我该怎么办？

Answer 1

有些术语被截断为零不一定是灾难；这不会大大恶化您的近似值。我通过将多项式的每一项四舍五入到最接近的整数来模拟您在 Matlab 中的固定精度设置:

q4 = @(X) round((8.11 * X.^4)/2^34);
q3 = @(X) -round((19.62* X.^3)/2^24);
q2 = @(X) -round((0.93 * X.^2)/2^14);
q1 = @(X) round((57.52*X)/2^4);
q0 = @(X) round(0.0069 * 2^6);

确实，在区间 [0,210] 的前五分之一，项 q4、q3、q2 看起来相当不稳定，而 q4 基本上不存在。



但是这些舍入的影响与 atan 的近似理论误差大致相同。由你的多项式。这是图中红色是计算的差值(多项式-atan)，没有四舍五入到整数，绿色是差值(q4+q3+q2+q1+q0-atan):



如您所见，舍入不会使近似变得更糟；在大多数情况下，它实际上通过一个愉快的事故减少了错误。

我确实注意到您的多项式系统地高估了 atan。当我使用 Matlab 在 [0,1] 上将 4 次多项式拟合到 atan 时，系数略有不同:

8.0927  -19.6568   -0.9257   57.5106   -0.0083

即使像你一样将这些截断为两个有效数字，我也得到了一个更好的近似值:

(8.09 * X^4)/2^34 - (19.66* X^3)/2^24 - (0.93 * X^2)/2^14 + (57.52*X)/2^4 - 0.0083 * 2^6

这次截断为整数确实使事情变得更糟。但是可以预料，将几个中间结果四舍五入为整数的计算结果将偏离 +-2 左右。该多项式显示的 +-0.5 的理论精度无法使用给定的算术工具实现。