r - lm() : What is qraux returned by QR decomposition in LINPACK/LAPACK

Question

rich.main3是 R 中的线性模型。我了解列表中的其余元素，但我不明白 qraux是。文档指出它是

a vector of length ncol(x) which contains additional information on \bold{Q}".

它意味着什么附加信息？

str(rich.main3$qr)

qr   : num [1:164, 1:147] -12.8062 0.0781 0.0781 0.0781 0.0781 ...


..- attr(*, "dimnames")=List of 2
  .. ..$ : chr [1:164] "1" "2" "3" "4" ...
  .. ..$ : chr [1:147] "(Intercept)" "S2" "S3" "x1" ...
  ..- attr(*, "assign")= int [1:147] 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
  ..- attr(*, "contrasts")=List of 3
  .. ..$ S    : chr "contr.treatment"
  .. ..$ ID   : chr "contr.treatment"
  .. ..$ Block: chr "contr.treatment"
 $ qraux: num [1:147] 1.08 1.06 1.16 1.21 1.27 ...
 $ pivot: int [1:147] 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 ...
 $ tol  : num 1e-07
 $ rank : int 21
 - attr(*, "class")= chr "qr"

Answer 1

想必您不知道 QR 分解是如何计算的。我在 LaTeX 中写了以下内容，可能会帮助您澄清这一点。当然，在编程站点上，我需要向您展示一些代码。最后给大家提供一个玩具R函数计算Householder反射。

住户反射(reflect)矩阵



户型改造



家庭 QR 分解(无旋转)



QR 和重新缩放的紧凑存储



LAPACK 辅助例程 dlarfg 正在执行 Householder 变换。我还编写了以下玩具 R 函数用于演示:

dlarfg <- function (x) {
  beta <- -1 * sign(x[1]) * sqrt(as.numeric(crossprod(x)))
  v <- c(1, x[-1] / (x[1] - beta))
  tau <- 1 - x[1] / beta
  y <- c(beta, rep(0, length(x)-1L))
  packed_yv <- c(beta, v[-1])
  oo <- cbind(x, y, v, packed_yv)
  attr(oo, "tau") <- tau
  oo
  }

假设我们有一个输入向量

set.seed(0); x <- rnorm(5)

我的功能给出:

dlarfg(x)
#              x         y           v   packed_yv
#[1,]  1.2629543 -2.293655  1.00000000 -2.29365466
#[2,] -0.3262334  0.000000 -0.09172596 -0.09172596
#[3,]  1.3297993  0.000000  0.37389527  0.37389527
#[4,]  1.2724293  0.000000  0.35776475  0.35776475
#[5,]  0.4146414  0.000000  0.11658336  0.11658336
#attr(,"tau")
#[1] 1.55063