opengl - 为什么除法产生的结果与 float 乘以分数的结果截然不同

Question

我明白为什么不能比较浮点数，并且知道尾数和指数二进制表示，但我不是专家，今天我遇到了一些我不明白的事情:

即让我们说你有这样的事情:

float denominator, numerator, resultone, resulttwo;

resultone = numerator / denominator;

float buff = 1 / denominator;

resulttwo = numerator * buff;

据我所知，不同的失败会产生不同的结果，这并不罕见。但在某些边缘情况下，这两个结果似乎大不相同。更具体地说，在我的 GLSL 代码中计算 Cook-Torrance 光照模型的贝克曼面斜率分布:

float a = 1 / (facetSlopeRMS * facetSlopeRMS * pow(clampedCosHalfNormal, 4));
float b = clampedCosHalfNormal * clampedCosHalfNormal - 1.0;
float c = facetSlopeRMS * facetSlopeRMS * clampedCosHalfNormal * clampedCosHalfNormal;

facetSlopeDistribution = a * exp(b/c);

产生非常不同的结果

float a = (facetSlopeRMS * facetSlopeRMS * pow(clampedCosHalfNormal, 4));
facetDlopeDistribution = exp(b/c) / a;

为什么呢？表达式的第二种形式是有问题的。

如果我说尝试将表达式的第二种形式添加到颜色中，我会得到黑色，即使表达式应始终评估为正数。我得到了无穷大吗？一个南？如果是为什么？

Answer 1

我没有详细介绍你的数学，但你必须意识到所有这些幂和指数很容易产生小错误。您应该尝试替换所有变量 var与 var + e(var) (在纸上，是的)并导出总误差的表达式 - 无需在步骤之间进行简化，因为这就是错误的来源!

这也是计算流体动力学中一个非常常见的问题，如果您的网格未与模拟流动正确对齐，您可以观察到诸如“数字扩散”之类的问题。

所以要清楚地掌握最大的错误来自哪里，并在可能的情况下重写方程式以最小化数字错误。

编辑:澄清，一个例子

假设您有一些变量 x和一个表达式 y=exp(x) . x 中的错误表示 e(x)与 x 相比较小(比如 e(x)/x < 0.0001 ，但请注意，这取决于您使用的类型)。那你可以这么说

e(y) = y(x+e(x)) - y(x)
e(y) ~ dy/dx * e(x)   (for small e(x))
e(y) = exp(x) * e(x)

所以放大了 exp(x)的绝对误差，这意味着在 x=0 附近真的没有问题(这并不奇怪，因为此时 exp(x) 的斜率等于 x 的斜率)，但对于大 x你会注意到这一点。

相对误差将是

e(y)/y = e(y)/exp(x) = e(x)

而 x中的相对误差曾是

e(x)/x

所以你加了一个因子 x相对误差。