plot - 用 Mathematica 对复变量函数的几何解释？

Question

如何在 mathematica 中编写代码以查看如下结果:



如您所见，我们有复杂的函数 w=f(z) ，其中 z=x+iy和 w=u+iv .

在这个例子中 w=sin z ，我们看到垂直线的图像x=c是双曲线。 (剩下)

和水平线的图像y=c是椭圆。 (对)

这张图片取自“Complex Variables and Applications, by James Ward Brown, Ruel Vance Churchill”，第 8 版:第 331 和 333 页或第三版第 96-97 页

Answer 1

像这样的东西？

ClearAll[u, v, f];
f[z_] := Sin[z]
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y];
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y];

编辑:这只是产生了整个事情。如果您只想查看平行于虚轴的单个路径会发生什么，请尝试

ParametricPlot[{u[5, y], v[5, y]}, {y, -3, 3}]

或对于与实轴相同的平行线尝试

ParametricPlot[{u[x, 1], v[x, 1]}, {x, -3, 3}]

EDIT2:互动:

ClearAll[u, v, f];
f[z_] := Sin[z]
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y];
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y];

Manipulate[
Show[
    Graphics[{Line[{p1, p2}]}, PlotRange \[Rule] 3, Axes \[Rule] True],
    ParametricPlot[
        {u[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]), 
 p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])],
            v[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]), 
 p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])]},
        {t, 0, 1},
        PlotRange \[Rule] 3]],
{{p1, {0, 1}}, Locator},
{{p2, {1, 2}}, Locator}]

(丑陋，是的，但现在没有时间修复它)。典型输出:


或者



这个想法是你可以改变你给出的数字左侧的线(通过在绘图周围单击，这相当于单击 Argand 图......)并查看相应的图像。