f# - 如何在 F# 中实现 “efficient generalized fold”？

Question

在 paper of Martin et al.我读到了关于嵌套数据类型的有效广义折叠。这篇论文谈到了 Haskell，我想在 F# 中尝试一下。

到目前为止，我设法关注了 Nest示例包括 gfold 的实现.

type Pair<'a> = 'a * 'a
type Nest<'a> = Nil | Cons of 'a * Nest<Pair<'a>>

let example =
    Cons(1,
        Cons((2, 3),
            Cons(((4, 5), (6, 7)),
                Nil
            )
        )
    )

let pair (f:'a -> 'b) ((a, b):Pair<'a>) : Pair<'b> = f a, f b

let rec nest<'a, 'r> (f:'a -> 'r) : Nest<'a> -> Nest<'r> = function
    | Nil -> Nil
    | Cons(x, xs) -> Cons(f x, nest (pair f) xs)

//val gfold : e:'r -> f:('a * 'r -> 'r) -> g:(Pair<'a> -> 'a) -> _arg1:Nest<'a> -> 'r
let rec gfold e f g : Nest<'a> -> 'r = function
    | Nil -> e
    | Cons(x, xs) ->
        f(x, gfold e f g (nest g xs))

let uncurry f (a, b) = f a b

let up = uncurry (+)

let sum = example |> gfold 0 up up

不幸的是， gfold似乎具有二次复杂性，这就是作者提出 efold 的原因.正如您可能猜到的那样，那是我无法工作的那个。在摆弄了许多类型注释之后，我想出了这个版本，它只剩下一个小波浪线:

let rec efold<'a, 'b, 'r> (e:'r) (f:'a * 'r -> 'r) (g:(Pair<'a> -> Pair<'a>) -> 'a -> 'a) (h:_) (nest:Nest<'a>) : 'r =
    match nest with
    | Nil -> e
    | Cons(x, xs) -> f(h x, efold e f g ((g << pair) h) xs)
                                                        ^^

唯一剩下的未指定类型是 h 之一。 .编译器推断 val h : ('a -> 'a)但我认为需要有不同的类型。

提供的错误消息显示

Error Type mismatch. Expecting a
Nest<'a>
but given a
Nest<Pair<'a>>
The resulting type would be infinite when unifying ''a' and 'Pair<'a>'

使用正确的 h 类型错误应该消失。但我对 Haskell 的理解不够，无法将其翻译成 F#。

另见 this discussion关于论文中可能出现的错字。

更新:这是我从 kvb 中了解到的的回答:

所以 h将输入类型转换为中间类型，就像在累加器可能是不同类型的常规折叠中一样。 g然后用于将两个中间类型值减少为一个，而 f获取中间类型和输入类型以生成输出类型值。当然 e也是那种输出类型。
h确实直接应用于递归期间遇到的值。 g另一方面，仅用于使 h 适用于越来越深的类型。

看看第一个 f例如，除了应用 h 之外，它本身似乎并没有做太多工作。并助长递归。但是在复杂的方法中，我可以看到它是最重要的方法。结果是什么，即它是工作马。

这对吗？

Answer 1

efold的正确定义在 Haskell 中是这样的:

efold :: forall n m b.
    (forall a. n a)->
    (forall a.(m a, n (Pair a)) -> n a)->
    (forall a.Pair (m a) -> m (Pair a))->
    (forall a.(a -> m b) -> Nest a -> n b) 
efold e f g h Nil = e 
efold e f g h (Cons (x,xs)) = f (h x, efold e f g (g . pair h) xs

这不能完全翻译成 F#，因为 n和 m是“高级类型”——它们是在给定参数时创建类型的类型构造函数——在 F# 中不受支持(并且在 .NET 中没有清晰的表示形式)。

解释

您的更新询问如何解释折叠的参数。也许了解折叠如何工作的最简单方法是扩展将折叠应用于示例时发生的情况。你会得到这样的东西:

efold e f g h example ≡
    f (h 1, f ((g << pair h) (2, 3), f ((g << pair (g << pair h)) ((4,5), (6,7)), e)))

所以 h将值映射到可以用作 f 的类型
的第一个参数。 g用于申请 h到更深的嵌套对(这样我们就可以从使用 h 作为 a -> m b 到 Pair a -> m (Pair b) 到 Pair (Pair a) -> m (Pair (Pair b)) 等类型的函数)，和 f重复应用到脊椎以结合 h 的结果嵌套调用 f 的结果.最后， e只使用一次，作为对 f 的最深层嵌套调用的种子。 .

我认为这个解释与你的推断基本一致。 f对于组合不同层的结果当然是至关重要的。但是 g也很重要，因为它告诉您如何在一个层中组合各个部分(例如，在对节点求和时，它需要对左右嵌套的总和进行求和；如果您想使用折叠来构建一个新的嵌套，其中的值位于每个级别都与输入的级别相反，您将使用 g ，它看起来大致类似于 fun (a,b) -> b,a )。

简单的方法

一种选择是创建 efold 的专用实现。对于每个 n , m你关心的一对。例如，如果我们想对 Nest 中包含的列表的长度求和。然后 n _和 m _两者都只是 int .我们可以稍微概括一下 n _ 的情况。和 m _不要依赖他们的论点:

let rec efold<'n,'m,'a> (e:'n) (f:'m*'n->'n) (g:Pair<'m> -> 'm) (h:'a->'m) : Nest<'a> -> 'n = function
| Nil -> e
| Cons(x,xs) -> f (h x, efold e f g (g << (pair h)) xs)

let total = efold 0 up up id example

另一方面，如果 n和 m确实使用它们的参数，那么您需要定义一个单独的特化(另外，您可能需要为每个多态参数创建新类型，因为 F# 对更高级别类型的编码很尴尬)。例如，要将巢的值收集到您想要的列表中 n 'a = list<'a>和 m 'b = 'b .然后不是为 e 的参数类型定义新类型我们可以观察到 forall 'a.list<'a> 类型的唯一值是 [] ，所以我们可以写:

type ListIdF =
    abstract Apply : 'a * list<Pair<'a>> -> list<'a>

type ListIdG =
    abstract Apply : Pair<'a> -> Pair<'a>

let rec efold<'a,'b> (f:ListIdF) (g:ListIdG) (h:'a -> 'b) : Nest<'a> -> list<'b> = function
| Nil -> []
| Cons(x,xs) -> f.Apply(h x, efold f g (pair h >> g.Apply) xs)

let toList n = efold { new ListIdF with member __.Apply(a,l) = a::(List.collect (fun (x,y) -> [x;y]) l) } { new ListIdG with member __.Apply(p) = p } id n

复杂的方法

虽然 F# 不直接支持更高种类的类型，但事实证明可以以某种忠实的方式模拟它们。这是 Higher 所采用的方法图书馆。这是它的最小版本的样子。

我们创建一个类型 App<'T,'a>这将代表某种类型的应用程序 T<'a> , 但是我们将创建一个虚拟伴侣类型，它可以作为 App<_,_> 的第一个类型参数。 :

type App<'F, 'T>(token : 'F, value : obj) = 
    do
        if obj.ReferenceEquals(token, Unchecked.defaultof<'F>) then
            raise <| new System.InvalidOperationException("Invalid token")

    // Apply the secret token to have access to the encapsulated value
    member self.Apply(token' : 'F) : obj =
        if not (obj.ReferenceEquals(token, token')) then
            raise <| new System.InvalidOperationException("Invalid token")
        value 

现在我们可以为我们关心的类型构造函数定义一些伴随类型(这些通常可以存在于一些共享库中):

// App<Const<'a>, 'b> represents a value of type 'a (that is, ignores 'b)
type Const<'a> private () =
    static let token = Const ()
    static member Inj (value : 'a) =
        App<Const<'a>, 'b>(token, value)
    static member Prj (app : App<Const<'a>, 'b>) : 'a =
        app.Apply(token) :?> _

// App<List, 'a> represents list<'a>
type List private () = 
    static let token = List()
    static member Inj (value : 'a list) =
        App<List, 'a>(token, value)
    static member Prj (app : App<List, 'a>) : 'a list =
        app.Apply(token) :?> _

// App<Id, 'a> represents just a plain 'a
type Id private () =
    static let token = Id()
    static member Inj (value : 'a) =
        App<Id, 'a>(token, value)
    static member Prj (app : App<Id, 'a>) : 'a =
        app.Apply(token) :?> _

// App<Nest, 'a> represents a Nest<'a>
type Nest private () =
    static let token = Nest()
    static member Inj (value : Nest<'a>) =
        App<Nest, 'a>(token, value)
    static member Prj (app : App<Nest, 'a>) : Nest<'a> =
        app.Apply(token) :?> _

现在我们可以一劳永逸地为有效折叠的参数定义更高等级的类型:

// forall a. n a
type E<'N> =
    abstract Apply<'a> : unit -> App<'N,'a>

// forall a.(m a, n (Pair a)) -> n a)
type F<'M,'N> =
    abstract Apply<'a> : App<'M,'a> * App<'N,'a*'a> -> App<'N,'a>

// forall a.Pair (m a) -> m (Pair a))
type G<'M> =
    abstract Apply<'a> : App<'M,'a> * App<'M,'a> -> App<'M,'a*'a>

所以折叠只是:

let rec efold<'N,'M,'a,'b> (e:E<'N>) (f:F<'M,'N>) (g:G<'M>) (h:'a -> App<'M,'b>) : Nest<'a> -> App<'N,'b> = function
| Nil -> e.Apply()
| Cons(x,xs) -> f.Apply(h x, efold e f g (g.Apply << pair h) xs)

现在调用 efold我们需要对各种 Inj 进行一些调用。和 Prj方法，但除此之外，一切看起来都和我们预期的一样:

let toList n = 
    efold { new E<_> with member __.Apply() = List.Inj [] } 
          { new F<_,_> with member __.Apply(m,n) = Id.Prj m :: (n |> List.Prj |> List.collect (fun (x,y) -> [x;y])) |> List.Inj }
          { new G<_> with member __.Apply(m1,m2) = (Id.Prj m1, Id.Prj m2) |> Id.Inj }
          Id.Inj
          n
    |> List.Prj

let sumElements n =
    efold { new E<_> with member __.Apply() = Const.Inj 0 }
          { new F<_,_> with member __.Apply(m,n) = Const.Prj m + Const.Prj n |> Const.Inj }
          { new G<_> with member __.Apply(m1,m2) = Const.Prj m1 + Const.Prj m2 |> Const.Inj }
          Const.Inj
          n
    |> Const.Prj

let reverse n = 
    efold { new E<_> with member __.Apply() = Nest.Inj Nil }
          { new F<_,_> with member __.Apply(m,n) = Cons(Id.Prj m, Nest.Prj n) |> Nest.Inj }
          { new G<_> with member __.Apply(m1,m2) = (Id.Prj 2, Id.Prj m1) |> Id.Inj }
          Id.Inj
          n
    |> Nest.Prj

希望这里的模式是清晰的:在每个对象表达式中，应用程序方法会转换出每个参数，对它们进行操作，然后将结果注入(inject)到 App<_,_> 中。类型。有一些 inline神奇的是，我们可以让这个看起来更加一致(以一些类型注释为代价):

let inline (|Prj|) (app:App< ^T, 'a>) = (^T : (static member Prj : App< ^T, 'a> -> 'b) app)
let inline prj (Prj x) = x
let inline inj x = (^T : (static member Inj : 'b -> App< ^T, 'a>) x)

let toList n = 
    efold { new E<List> with member __.Apply() = inj [] } 
          { new F<Id,_> with member __.Apply(Prj m, Prj n) = m :: (n |> List.collect (fun (x,y) -> [x;y])) |> inj }
          { new G<_> with member __.Apply(Prj m1,Prj m2) = (m1, m2) |> inj }
          inj
          n
    |> prj

let sumElements n =
    efold { new E<Const<_>> with member __.Apply() = inj 0 }
          { new F<Const<_>,_> with member __.Apply(Prj m, Prj n) = m + n |> inj }
          { new G<_> with member __.Apply(Prj m1,Prj m2) = m1 + m2 |> inj }
          inj
          n
    |> prj

let reverse n = 
    efold { new E<_> with member __.Apply() = Nest.Inj Nil }
          { new F<Id,_> with member __.Apply(Prj m,Prj n) = Cons(m, n) |> inj }
          { new G<_> with member __.Apply(Prj m1,Prj m2) = (m2, m1) |> inj }
          inj
          n
    |> prj