filter - 根据滤波器系数计算频率响应

Question

我找不到有关此主题的任何可理解的信息。在荷兰维基百科上，我发现您可以应用 z 变换来生成以下形式的公式:
www.music.mcgill.ca/~gary/618/week1/img15.gif

此 FIR 滤波器用作示例:
upload.wikimedia.org/math/b/9/e/b9e2ed5184f98621922f716e5216f33d.png

使用 z 变换:
upload.wikimedia.org/math/4/d/6/4d6621be8fabf4db8816c12f34ed9877.png

在那个例子中，e^it(自然对数提高到虚数单位，t = theta)被替换为z:upload.wikimedia.org/math/0/6/e/06eada8fedfb492bd63bb50491b042aa.png

然后使用该函数的图并将其视为频率响应。我认为这种方法是一种计算滤波器频率响应的简单方法。然而，这种方法有效吗？当我想到一个小的延迟(它“阻塞”原始信号)时，我想到每个频率的频率响应应该是 1，因为信号没有改变，只是延迟了，但是使用这种方法，我计算出频率响应将是:

y(n) = 0*x(n) + 1*x(n-1)  

Z-变换

H(z) = 0 + 1z^-1

代入 e^it(用 t=theta):

H(e^it) = 0 + 1 * e^-it

由于这会产生正弦波作为频率响应，我一定是做错了什么，或者误解了一些东西。如果有人可以帮助我，我会很高兴!

Answer 1

根据 rwong 的评论，系统函数 H 为您提供系统在特定频率下的相位和幅度响应。这意味着如果系统的输入是 cos[ωn] = cos[2πfn]，则输出将是 a(f)cos[2πfn + Φ(f)]，其中 a(f) = |H(f)|并且Φ(f) = 相位(H(f))。在您的情况下，幅度为 1，因为信号没有以任何方式缩放，只是在时间上移动。相移为 -ω，其中 ω 是系统正弦输入的角频率。

我希望以下内容对于 Stack Overflow 来说不是太初级，但也许回顾时间序列分析的基本知识会对 minibear 和其他人有所帮助。

如果您有一个脉冲响应为 h[n] = δ[n-1](其中 δ[n] 是增量函数)的系统，如您的示例所示，这意味着您将输入延迟了 1 个时间步长.想想这在正弦波相位方面意味着什么。变化最快的正弦曲线的数字频率为 0.5(即 2 个样本的周期)——例如cos[πn]。这是系列 [1,-1,...]。如果将此信号延迟 1，则会得到序列 [-1,1,...]，即 cos[πn - π] = cos[π(n - 1)]，即输入信号相移 -π 弧度(-180 度)。查看数字频率为 0.25(即 4 个样本的周期)的较长周期信号——例如cos[0.5πn]。这是系列 [1,0,-1,0,...]。单位延迟产生系列 [0,1,0,-1,...]，即 cos[0.5πn - 0.5π] = cos[0.5π(n - 1)]，即输入信号相移 - π/2 弧度(-90 度)。类似地，您可以计算出 cos[0.25πn] 的输入产生 cos[0.25πn - 0.25π] = cos[0.25π(n - 1)] 的输出，即输入相移 -π/4 弧度(-45 度)等，等等。

很明显，如果输入角频率为 ω(例如 0.5π)，则输出将相移 Φ = -ω。将信号视为沿逆时针路线绕单位圆行驶的火车，其时间序列值对应于该路线上的停靠点。 0.5π 的角频率意味着它会在以下弧度值处停留 4 次:0、0.5π、π、1.5π。然后它返回到 0 并一遍又一遍地重复循环。如果这列火车因停靠点而延误，则对应于预定路线上的 -0.5π 弧度偏移。

回到 H(f)，我希望它为什么等于 exp(-i2πf) = exp(-iω) 是有道理的。类似地，如果您的系统延迟为 2，则 h[n] = δ[n-2] 和 H(f) = exp(-i4πf) = exp(-2iω) -- 这是 2 个停靠点的延迟单位圆。这就是系统/滤波器的所有频率响应告诉您的，即系统作为频率函数缩放和延迟每个输入正弦曲线的程度。

FIR 系统(即有限脉冲响应，对应于移动平均模型 [MA])是最简单的，因为它们只是前馈路径上 delta(即尺度和延迟)函数的总和。 IIR 系统(即无限脉冲响应，对应于自回归模型 [AR])更易于分析，因为它们具有反馈路径。