math - 为什么十进制数不能用二进制精确表示？

Question

已经向 SO 发布了几个关于浮点表示的问题。例如，十进制数 0.1 没有精确的二进制表示，因此使用 == 运算符将其与另一个浮点数进行比较是很危险的。我了解浮点表示背后的原理。

我不明白的是，为什么从数学的角度来看，小数点右边的数字比左边的数字更“特殊”？

例如，数字 61.0 具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但数字 6.10 并不准确。我所做的只是将小数点移动一位，突然间我从 Exactopia 转到了 Inexactville。从数学上讲，这两个数字之间应该没有本质区别——它们只是数字。

相比之下，如果我将小数点向另一个方向移动一位以产生数字 610，我仍然处于 Exactopia。我可以继续朝那个方向前进 (6100, 610000000, 610000000000000) 而且它们仍然精确、精确、精确。但是一旦小数点越过某个阈值，数字就不再准确。

这是怎么回事？

编辑:澄清一下，我想远离关于行业标准表示的讨论，例如 IEEE，并坚持我认为是数学上“纯粹”的方式。在基数 10 中，位置值是:

... 1000  100   10    1   1/10  1/100 ...

在二进制中，它们将是:

... 8    4    2    1    1/2  1/4  1/8 ...

对这些数字也没有任意限制。位置向左和向右无限增加。

Answer 1

如果您有足够的空间，则可以精确表示十进制数 - 只是不能用浮点二进制数表示。如果您使用浮点小数点类型(例如 .NET 中的 System.Decimal)，则可以准确表示许多无法用二进制浮点精确表示的值。
让我们换一种方式来看待它 - 在您可能会习惯的基数 10 中，您无法准确表达 1/3。它是 0.3333333...(重复出现)。不能将 0.1 表示为二进制浮点数的原因完全相同。您可以精确地表示 3、9 和 27 - 但不能表示 1/3、1/9 或 1/27。
问题是 3 是一个质数，它不是 10 的因数。当你想将一个数乘以 3 时，这不是问题:你总是可以乘以一个整数而不会遇到问题。但是，当您除以一个质数且不是基数的因数时，您可能会遇到麻烦(如果您尝试将 1 除以该数，则会遇到麻烦)。
尽管 0.1 通常被用作无法用二进制浮点精确表示的精确十进制数的最简单示例，但可以说 0.2 是一个更简单的示例，因为它是 1/5 - 5 是导致十进制和二进制之间出现问题的素数.

处理有限表示问题的旁注:
一些浮点小数点类型具有固定大小，例如 System.Decimal其他喜欢 java.math.BigDecimal是“任意大” - 但它们会在某个时候达到限制，无论是系统内存还是数组的理论最大大小。但是，这与此答案的主要内容完全不同。即使您有真正任意大量的位可供使用，您仍然无法在浮点二进制小数点表示中准确表示十进制 0.1。将其与相反的方式进行比较:给定任意数量的十进制数字，您可以准确地表示任何可以完全表示为浮点二进制小数点的数字。