matlab - 如果 A.B = C，给定 A、B、C 是矩阵，如何使用 Matlab 从 B 和 C 计算 A？

Question

A、B、C 是矩阵。

A*B = C

现在我想做一个反向操作，即使用 B 和 C 计算 A。我该怎么做？Matlab 说 B 应该是一个方阵来计算它的逆。

Answer 1

如果存在唯一解，那么最好使用 pinv 来找到它。使用 schwarz 提出的示例...

A = [2 3 4];
B = [11 11 11; 12 12 12; 13 13 13];
C = A*B;

Ahat = C*pinv(B)
Ahat =
        2.788       3.0415       3.2949

问题是，B 是单数的。所以可能有无限多的解决方案。

B = magic(3)
B =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2
A = [2 3 4];
C = A*B
C =
    41    53    41

Ahat = C*pinv(B)
Ahat =
            2            3            4

Ahat = C/B
Ahat =
     2     3     4

看到 pinv 和 slash 都产生相同的解决方案，因为 B 是非奇异的并且条件良好。

但是如果我们尝试条件不太好的东西呢？在下一个示例中，我将使用一个还算不错的矩阵。

>> A = [2 3 4];
>> B = [1 1 1;1 2 3;2 3 4.00001]
B =
    1              1              1
    1              2              3
    2              3        4.00001

好吧，它有一个相当大的条件数，但这个矩阵不是我所说的数字奇异矩阵。

cond(B)
ans =
           2865128.4655819

C = A*B
C =
                        13                        20                  27.00004

现在让我们尝试几种不同的解决方案。

format long g
Ahat1 = C*pinv(B)
Ahat1 =
     2     3     4

pinv 做得很好。

Ahat2 = C/B
Ahat2 =
          2.00000000017764          3.00000000017764          3.99999999982236

Ahat3 = C*inv(B)
Ahat3 =
          1.99999999953434          2.99999999953434          4.00000000046566

slash 和 inv 都不错，尽管在这种情况下显然更糟。对于这个问题，pinv 解决方案似乎更稳定一些。

我们也可以对此进行 QR 因式分解。使用旋转解决方案以获得最佳稳定性。请注意，当您的系统几乎是单一的时，我们仍然会遇到问题。

[Q,R,P] = qr(B);

您可以通过检查 R 看到问题。最后一个对角线元素与其余元素相比很小。这将导致解决方案出现问题，放大任何噪音。

R
R =
         -5.09902735824196         -2.35339392337313         -3.72620671848107
                         0         0.679365175314723         0.339681455393392
                         0                         0     -2.88675134520189e-06

QR 因子具有 Q*R*P' = B 的性质。所以我们可以在这里求解 A:

Ahat4 = ((C*P)/R)*Q'
Ahat4 =
          2.00000000076851           3.0000000007685           3.9999999992315

请注意，我已将括号安排得尽可能高效，因为 MATLAB 将使用 R 的属性作为三角矩阵来简单地进行反向求解。我们不希望 MATLAB 分解已经分解的矩阵。

但是现在让我们看看 vahid 提出的一个:

Ahat5 = C*B'*(inv(B*B'))
Ahat5 =
              1.9970703125               2.998046875              4.0029296875

然而，vahid 提出的解决方案简直糟透了。不要使用最后一种形式。请。人们告诉您不要这样做是有原因的，或者他们应该告诉您!是的，我知道有一群人不知道所涉及的数学，他们一直在传播它。您甚至可以在一些不知情的教科书中找到它。

pinv 的好处在于它适用于任何矩阵，无论是否为单数。如果存在解决方案，它将找到一个。如果解决方案是唯一的，它将起作用。如果解决方案不是唯一的，那么您期望什么？