agda - 卡在异质相等的证明上

Question

我有一个二进制数表示，加上一些与 Nat 的转换:

open import Data.Nat
open import Data.Nat.Properties
open import Function
open import Relation.Binary.PropositionalEquality hiding (trans; cong; subst; sym)
open import Relation.Binary.HeterogeneousEquality
open import Data.Unit
open import Algebra
module CS = CommutativeSemiring commutativeSemiring 

data Bin : ℕ → Set where
  zero  : Bin zero
  2*n   : ∀ {n} → Bin n → Bin (n + n)
  2*n+1 : ∀ {n} → Bin n → Bin (suc (n + n))

suc-lem : ∀ n → suc (suc (n + n)) ≡ suc n + suc n
suc-lem zero = refl
suc-lem (suc n) rewrite 
    CS.+-comm n (suc n)
  | suc-lem n | CS.+-comm n (suc (suc n)) 
  | CS.+-comm n (suc n) = refl

inc : ∀ {n} → Bin n → Bin (suc n)
inc zero = 2*n+1 zero
inc (2*n b) = 2*n+1 b
inc (2*n+1 {n} b) rewrite suc-lem n = 2*n (inc b)

nat2bin : (n : ℕ) → Bin n
nat2bin zero = zero
nat2bin (suc n) = inc (nat2bin n)

bin2nat : ∀ {n} → Bin n → ℕ
bin2nat {n} b = n

我认为我需要异构相等来证明这里的事情，因为通常不明显两个 Bin-s 的 Nat 索引相等。不过，我对 Agda 缺乏经验，所以请告诉我该方法是否被误导。

我坚持以下几点:

lem : ∀ n → 2*n+1 (inc (nat2bin n)) ≅ inc (inc (2*n+1 (nat2bin n)))
lem zero = refl
lem (suc n) = 
  subst
    (λ b → 2*n+1 (inc (inc (nat2bin n))) ≅ inc (inc b))
    (sym $ lem ?) ? 

显而易见的是插入 n进入 sym $ lem ? ，但这会导致错误，提示 suc (n + n) != n + suc n .

我想知道为什么会发生这种情况或如何提供帮助。

Answer 1

进口:

open import Level hiding (zero; suc)
open import Function
open import Relation.Binary.HeterogeneousEquality
  renaming (sym to hsym; trans to htrans; cong to hcong; subst to hsubst)
open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Data.Nat
open import Data.Fin hiding (_+_)
open import Algebra
open import Data.Nat.Properties
module ℕplus = CommutativeSemiring commutativeSemiring

我已经重新安排了你的 inc稍微简化一下:

inc : ∀ {n} → Bin n → Bin (suc n)
inc zero = 2*n+1 zero
inc (2*n b) = 2*n+1 b
inc (2*n+1 {n} b) = subst (Bin ∘ suc) (ℕplus.+-comm n (suc n)) (2*n (inc b))

引理:

lem : ∀ n → 2*n+1 (inc (nat2bin n)) ≅ inc (inc (2*n+1 (nat2bin n)))
lem zero = refl
lem (suc n) = {!!}

孔的类型是

2*n+1 (inc (inc (nat2bin n))) ≅
      inc
      (subst ((λ {.x} → Bin) ∘ suc) (ℕplus.+-comm (suc n) (suc (suc n)))
       (2*n (inc (inc (nat2bin n)))))

所以我们需要像标准库中的 subst-removable 这样的东西:

≡-subst-removable : ∀ {a p} {A : Set a}
                    (P : A → Set p) {x y} (eq : x ≡ y) z →
                    P.subst P eq z ≅ z
≡-subst-removable P refl z = refl

的类型

hsym $
  ≡-subst-removable
    (Bin ∘ suc)
    (ℕplus.+-comm (suc n) (suc (suc n)))
    (2*n $ inc $ inc $ nat2bin n)

是

(2*n $ inc $ inc $ nat2bin n) ≅
      subst ((λ {.x} → Bin) ∘ suc) (ℕplus.+-comm (suc n) (suc (suc n)))
      (2*n $ inc $ inc $ nat2bin n)

几乎是我们所需要的。现在我们要添加 hcong inc ，但编译器拒绝它。
这是 cong的实现:

cong : ∀ {a b} {A : Set a} {B : A → Set b} {x y}
       (f : (x : A) → B x) → x ≅ y → f x ≅ f y
cong f refl = refl

所以 x和 y必须是同一类型 A , 而我们的 subst改变类型。
这是 hcong的实现，我们需要:

hcong' : {α β γ : Level} {I : Set α} {i j : I}
       -> (A : I -> Set β) {B : {k : I} -> A k -> Set γ} {x : A i} {y : A j}
       -> i ≡ j
       -> (f : {k : I} -> (x : A k) -> B x)
       -> x ≅ y
       -> f x ≅ f y
hcong' _ refl _ refl = refl

最后证明:

lem : ∀ n → 2*n+1 (inc (nat2bin n)) ≅ inc (inc (2*n+1 (nat2bin n)))
lem zero = refl
lem (suc n) =
  hcong'
    (Bin ∘ suc)
    (ℕplus.+-comm (suc n) (suc (suc n)))
    inc
    $ hsym
      $ ≡-subst-removable
          (Bin ∘ suc)
          (ℕplus.+-comm (suc n) (suc (suc n)))
          (2*n $ inc $ inc $ nat2bin n)

此外，我们可以合并 subst-removable和 cong :

≡-cong-subst-removable : {α β γ : Level} {I : Set α} {i j : I}
                       -> (A : I -> Set β) {B : {k : I} -> A k -> Set γ}
                       -> (e : i ≡ j)
                       -> (x : A i)
                       -> (f : {k : I} -> (x : A k) -> B x)
                       -> f (subst A e x) ≅ f x
≡-cong-subst-removable _ refl _ _ = refl

lem' : ∀ n → 2*n+1 (inc (nat2bin n)) ≅ inc (inc (2*n+1 (nat2bin n)))
lem' zero = refl
lem' (suc n) = hsym $
  ≡-cong-subst-removable
    (Bin ∘ suc)
    (ℕplus.+-comm (suc n) (suc (suc n)))
    (2*n $ inc $ inc $ nat2bin n)
    inc

顺便说一句，皮尔斯的意思是这种数据类型，我想:

data Bin : Set where
  zero  : Bin
  2*n   : Bin → Bin
  2*n+1 : Bin → Bin

顺便说一句，可以在没有其他定义的情况下证明您的人为示例:

contrived-example : {n : ℕ} {f : Fin (n + suc n)}
                  -> f ≅ fromℕ (n + suc n)
                  -> f ≅ fromℕ (suc n + n)
contrived-example {n} eq = htrans eq $ hcong fromℕ $ ≡-to-≅ $ ℕplus.+-comm n (suc n)

BTW3, hsubst-ix1 可以减少很多，因为你使用异构相等并且不需要证明类型的相等:

hsubst' : {C1 C2 : Set} {x : C1} {y : C2}
        -> (P : {C : Set} -> C -> Set)
        -> x ≅ y
        -> P x
        -> P y
hsubst' _ refl x = x

contrived-example' : 
  ∀ n
  → (f : Fin (n + suc n)) 
  → (fromℕ (n + suc n) ≅ fromℕ (suc n + n))
  → (f ≅ fromℕ (n + suc n))
  → (f ≅ fromℕ (suc n + n)) 
contrived-example' n f eq p = hsubst' (λ f' → f ≅ f') eq p