math - 理论上最小的浮点格式是什么？

Question

假设您正在考虑将 IEEE-754 格式用于诸如单精度和 double 之类的浮点数，那么您可能拥有的最小浮点格式是什么？

我知道有半浮点数和迷你浮点数，但多小仍然有意义？我知道应用程序可能无法使格式非常适合任何实际用途。

我试图确定您可以拥有的最小尾数位宽和最小指数宽度是多少？

例如，拥有 X.X 格式的尾数是否有意义(假设单精度将表示为 X.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX)？
另外，具有宽度为 1 的指数是否有意义？

作为我在想的一个例子:

如果你有 X.X 格式，没有指数，那么你唯一可能的数字是 +/- {1.0,1.1}，但是浮点数或格式是否有一些基本的东西使这些无法考虑？

Answer 1

我偶尔会使用四位 FP 格式:2 个指数位和 1 个有效位。这为您提供了以下一组值:

encoding    value
  x000     +/-0.0
  x001     +/-0.5
  x010     +/-1.0
  x011     +/-1.5
  x100     +/-2.0
  x101     +/-3.0
  x110     +/-Inf
  x111        NaN

显然，你不能用这种格式做很多有用的计算，但它对教学很有用，因为它是最小的格式，可以为你提供所有有趣的边缘情况(没有信号 NaN，但是，如果你关心这个，除非你想发出“-NaN”信号)。

从某种意义上说，这是未完全退化的“最小”浮点格式，但您仍然永远不会使用它，因为它基本上在各方面都比带有一个小数位的 4 位有符号定点格式更糟.在一般设置中真正通过此测试的最小浮点格式是半精度(尽管 8b 格式有一些小众用途)。

没有有效位的三位格式几乎可以工作；它为您提供 +/-0、+/-1、+/-2 和 +/-Inf，但如果您遵循通常的 IEEE-754 编码规则，则没有可用的 NaN 编码。使用 b010 会更好用于 Inf 和 b011对于 NaN，但是在算术中从未发生过舍入(除了 1 + 1 溢出)，这对教学不是很有用。