scala - 理解产品和副产品的图表

Question

我想了解 Product和 Coproduct对应下图:

产品:


副产品:



据我了解，Product例如在 Haskell 中输入:

data Pair = P Int Double

和一个 Sum类型是:

data Pair = I Int | D Double 

如何理解与 Sum相关的图像和 Product类型？

图片来自 http://blog.higher-order.com/blog/2014/03/19/monoid-morphisms-products-coproducts/ .

Answer 1

据我所知，这些图表背后的想法是:

类型 A , B和 Z

功能 f和 g指示的类型(在第一个图中， f :: Z -> A 和 g :: Z -> B ，在第二个图中，箭头指向“另一条路”，所以 f :: A -> Z 和 g :: B -> Z )。

现在我将专注于第一个图表，这样我就不必在略有变化的情况下重复所有内容。

无论如何，鉴于上述情况，想法是有一个类型 M连同函数 fst :: M -> A , snd :: M -> B , 和 h :: Z -> M这样，正如数学家所说，图表“通勤”。这只是意味着，给定图中的任何两点，如果您以任何方式从一个箭头到另一个，结果函数是相同的。即， f与 fst . h 相同和 g与 snd . h 相同

很容易看出，无论如何 Z是，对类型 (A, B) ，连同通常的 Haskell 函数 fst和 snd , 满足这一点 - 再加上适当的选择 h ，即:

h z = (f z, g z)

这微不足道地满足了图通勤所需的两个身份。

这是图表的基本解释。但是你可能对 Z的作用有点困惑。在这一切中。之所以出现这种情况，是因为实际陈述的内容要强得多。就是这样，给定 A , B , f和 g ，有一个 M连同函数 fst和 snd ，您可以为任何类型构建这样的图 Z (这意味着还要提供一个函数 h :: Z -> M)。而且只有一个函数 h满足要求的性质。

很明显，一旦你玩过它并理解了各种要求，这对 (A, B) ，以及与它同构的各种其他类型(这基本上意味着 MyPair A B 在你定义的地方 data MyPair a b = MyPair a b )，是唯一满足这一点的东西。还有其他类型 M这也可以，但会产生各种不同的 h s - 例如。取 M成为三重 (A, B, Int) , 与 fst和 snd提取(数学术语中的“投影到”)第一个和第二个分量，然后 h z = (f z, g z, x)对于任何 x :: Int 都是这样的函数你想说出的名字。

自从我学习数学，特别是范畴论以来，我已经很久没能证明这对 (A, B)是唯一满足我们正在谈论的“通用属性”的类型 - 但请放心，它确实是，并且您真的不需要理解它(或任何一个)以便能够使用产品进行编程和 Haskell 中的 sum 类型。

第二个图或多或少相同，但所有的箭头都颠倒了。在这种情况下，“联积”或“总和” M的 A和 B原来是 Either a b (或与它同构的东西)和 h :: M -> Z将被定义为:

h (Left a) = f a
h (Right b) = g b