math - 三次贝塞尔曲线段

Question

如果我有描述贝塞尔曲线 P1、P2、P3、P4 的 4 个点(其中 P1 和 P4 是曲线的端点，P2 和 P3 是曲线的控制点)，我怎么能找到描述的点只有这条贝塞尔曲线的一部分？

我找到了这个 answer这正是我正在寻找的，但答案似乎是错误的。如果我在应表示整个贝塞尔曲线的方程中设置 t0=0 和 t1=1，则结果点无效。它们不等于原始点。

似乎该解决方案与De Casteljau's algorithm有关，但我无法理解它是如何工作的。

Answer 1

是的，De Casteljau's algorithm是要走的路。
参数化
如果您的曲线从 t=0 到 t=1 没有正确参数化，那么您似乎使用了错误的方程来描述您的曲线。 Wikipedia有正确的公式给你:

B(t) = (1−t)³ P₁ + 3(1−t)²t P₂ + 3(1−t)t² P₃ + t³ P₄

[I adjusted the indices from the zero-based form in Wikipedia to the one-based from your question.]

如果你设置 t=0，你会得到 P1，你的起点。如果您设置 t=1，您将获得 P4，即您的端点。在两者之间，曲线的形状由这些点和两个控制点 P2 和 P3 决定。
De Casteljau 算法
让 t 成为您想要切割曲线的参数。假设您只想保留初始部分。你画了三条线，从 P1 到 P2，从那里到 P3，再从那里到 P4。每条线都以其长度的分数 t 进行分割，即分割点之前的线的长度与作为 t 的整个长度相关: 1. 现在您有三个新点 P12 到 P34。再做同样得到两点P123和P234，再次得到单点P1234。最后一点是 B(t)，即截断曲线的端点。起点和以前一样是P1。新的控制点是我们刚刚构建的 P12 和 P123。
删除曲线的初始部分的工作方式相同。因此，您可以通过两个步骤修剪曲线的两端。您将获得一组新的控制点，这些控制点精确地(达到您使用的数值精度)描述原始曲线的一段，不涉及近似值或类似的内容。
您可以将上述所有几何描述转换为代数公式，在理想情况下，您应该得出 this answer 的结果。你引用的问题。
唉，这似乎不是一个完美的世界。在撰写本文时，这些公式仅使用二阶多项式，因此它们无法描述三阶曲线上的端点。正确的公式应该如下:

P'1 =
u0u0u0 P1 +
(t0u0u0 +
u0t0u0 +
u0u0t0) P2 +
(t0t0u0 +
u0t0t0 +
t0u0t0) P3 +
t0t0t0 P4

P'2 =
u0u0u1 P1 +
(t0u0u1 +
u0t0u1 +
u0u0t1) P2 +
(t0t0u1 +
u0t0t1 +
t0u0t1) P3 +
t0t0t1 P4

P'3 =
u0u1u1 P1 +
(t0u1u1 +
u0t1u1 +
u0u1t1) P2 +
(t0t1u1 +
u0t1t1 +
t0u1t1) P3 +
t0t1t1 P4

P'4 =
u1u1u1 P1 +
(t1u1u1 +
u1t1u1 +
u1u1t1) P2 +
(t1t1u1 +
u1t1t1 +
t1u1t1) P3 +
t1t1t1 P4

其中 u0 = 1 − t0 和 u1 = 1 − t1。
请注意，在括号中的表达式中，至少有一些术语是相等的并且可以组合。我没有这样做，因为这里所说的公式会使模式更清晰，我相信。您可以简单地对 x 和 y 方向独立执行这些计算，以计算您的新控制点。