Scipy周期图术语混淆

Question

我对 scipy.signal.periodogram 中使用的术语感到困惑，即:

缩放:{'密度'，'频谱'}，可选
在计算功率谱密度('密度')之间进行选择
哪里Pxx如果 x，单位为 V*2/Hz以 V 为单位测量并计算
功率谱('谱')，其中 Pxx如果 x，则单位为 V*2是
以 V 为单位。默认为“密度”

(见:http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.periodogram.html)

1) 一些测试表明，选项“密度”的结果取决于信号和窗口长度以及采样频率(随着信号长度的增加而增加)。怎么来的？我会说，正是密度不应该依赖于这些东西。如果我采用更长的信号，我应该得到更准确的估计，而不是不同的结果。更不用说对窗口长度的依赖也很令人惊讶。
结果在无限信号的极限处发散，这可能是能量的特征，而不是功率的特征。当长度增加时，周期图不应该收敛到实际的理论 PSD 吗？如果是这样，我是否应该在 signal.periodogram 方法之外执行另一个标准化？

2) 相反，我看到替代选项 'spectrum' 给出了我之前所说的功率谱密度，也就是说，它给出了独立于窗口段和窗口长度并与理论计算一致的结果。例如，对于 Asin(2PIft)，两侧解在 -f 和 f 处产生两个峰，每个峰的高度为 0.25*A^2。

关于这个主题有很多文献，但我的印象是也有很多不兼容的术语，所以我将感谢您的澄清。直截了当的问题是如何解释这些选项及其单位。 (我习惯看到标有“功率谱密度”的 V^2/Hz)。

Answer 1

让我们取一个名为 data 的实数数组，长度为 N，采样频率为 fs。我们称时间为 dt=1/fs，T = N * dt。在频域中，频率仓 df = 1/T = fs/N。
功率谱 PS (scipy.periodogram 中的 scaling='spectrum')计算如下:

import numpy as np
import scipy.fft as fft
dft = fft.fft(data)
PS = np.abs(dft)**2 / N ** 2

它的单位是V^2。可以这样理解。类比连续傅里叶变换，信号的能量E为:
E := np.sum(data**2) * dt = 1/N * np.sum(np.abs(dft)**2) * dt
(根据帕塞瓦尔定理)。信号的功率 P 是总能量 E 除以信号 T 的持续时间:
P := E/T = 1/N**2 * np.sum(np.abs(dft)**2)
功率 P 仅取决于离散傅立叶变换 (DFT) 和样本数 N。而不直接取决于采样频率 fs 或信号持续时间 T。因此每个频率 channel 的功率，即功率谱 SP，由下式给出上面的公式:

PS = np.abs(dft)**2 / N ** 2

对于 功率谱密度PSD (scipy.periodogram 中的缩放=“密度”)，需要将 PS 除以 DFT 的频率 bin，df:
PSD := PS/df = PS * N * dt = PS * N/fs
因此:

PSD = np.abs(dft)**2 / N * dt

这具有 V^2/Hz = V^2 * s 的单位，现在取决于采样频率。这样，在频率范围内对 PSD 进行积分会得到与对 PS 的各个值求和的结果相同。
这应该可以解释您在更改窗口、采样频率、持续时间时看到的关系。