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模逆可以计算如下(来自 Rosetta Code):
#include <stdio.h>
int mul_inv(int a, int b)
{
int b0 = b, t, q;
int x0 = 0, x1 = 1;
if (b == 1) return 1;
while (a > 1) {
q = a / b;
t = b, b = a % b, a = t;
t = x0, x0 = x1 - q * x0, x1 = t;
}
if (x1 < 0) x1 += b0;
return x1;
}
ints
, 如你看到的。上面的代码也适用于无符号整数(例如
uint64_t
)吗?我的意思是,是否可以替换所有
int
与
uint64_t
?我可以尝试少量输入,但尝试所有 64 位组合是不可行的。
a
的值 [0, 2^64)和 b
, 是否所有计算都不会溢出/下溢(或溢出而无害)? (x1 < 0)
看起来像在未签名的情况下? 最佳答案
首先这个算法是如何工作的?它基于 Extended Euclidean algorithm用于计算 GCD .简而言之,想法如下:如果我们能找到一些整数系数 m
和 n
以至于
a*m + b*n = 1
m
将是模逆问题的答案。很容易看到,因为
a*m + b*n = a*m (mod b)
a
和
b
是互质的,它找到这样的
m
和
n
.它的工作方式如下:对于每个迭代跟踪两个三元组
(ai, xai, yai)
和
(bi, xbi, ybi)
以至于在每一步
ai = a0*xai + b0*yai
bi = a0*xbi + b0*ybi
ai = 0
的状态时和
bi = GCD(a0,b0)
, 然后
1 = GCD(a0,b0) = a0*xbi + b0*ybi
q = a / b
r = a % b
r = a - q * b
a
和
b
每一步
|xai|,|xbi| <= b
和
|yai|,|ybi| <= a
.这意味着在计算这些系数期间不会出现溢出。不幸的是,负值是可能的,而且,在每个方程的第一个之后的每一步,一个是正的,另一个是负的。
x[a/b]
系数,它只跟踪它们并忽略
y[a/b]
那些。使该代码适用于
uint64_t
的最简单方法是在单独的字段中明确跟踪标志,如下所示:
typedef struct tag_uint64AndSign {
uint64_t value;
bool isNegative;
} uint64AndSign;
uint64_t mul_inv(uint64_t a, uint64_t b)
{
if (b <= 1)
return 0;
uint64_t b0 = b;
uint64AndSign x0 = { 0, false }; // b = 1*b + 0*a
uint64AndSign x1 = { 1, false }; // a = 0*b + 1*a
while (a > 1)
{
if (b == 0) // means original A and B were not co-prime so there is no answer
return 0;
uint64_t q = a / b;
// (b, a) := (a % b, b)
// which is the same as
// (b, a) := (a - q * b, b)
uint64_t t = b; b = a % b; a = t;
// (x0, x1) := (x1 - q * x0, x0)
uint64AndSign t2 = x0;
uint64_t qx0 = q * x0.value;
if (x0.isNegative != x1.isNegative)
{
x0.value = x1.value + qx0;
x0.isNegative = x1.isNegative;
}
else
{
x0.value = (x1.value > qx0) ? x1.value - qx0 : qx0 - x1.value;
x0.isNegative = (x1.value > qx0) ? x1.isNegative : !x0.isNegative;
}
x1 = t2;
}
return x1.isNegative ? (b0 - x1.value) : x1.value;
}
a
和
b
不互质或当
b
是 0 或 1,这个问题无解。在所有这些情况下,我的代码返回
0
对于任何真正的解决方案来说,这是一个不可能的值。
uint64_t
时会溢出。 .例如
a = 688231346938900684
和
b = 2499104367272547425
结果是
inv = 1080632715106266389
a * inv = 688231346938900684 * 1080632715106266389 =
= 743725309063827045302080239318310076 =
= 2499104367272547425 * 297596738576991899 + 1 =
= b * 297596738576991899 + 1
a
做一个简单的乘法运算和
inv
类型
uint64_t
, 你会得到
4042520075082636476
所以
(a*inv)%b
将是
1543415707810089051
而不是预期
1
.
关于math - 模倒数和无符号整数,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/53560302/
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