math - 中点已知的三次贝塞尔计算

Question

我知道:

控制点 a 和 d(二维三次贝塞尔曲线的起点和终点)

斜率 a->b、c->d 和 b->c(b,c 其他控制点)

哪里Bézier curve的中点是。

现在，根据这些信息，控制点 b 和 c 的位置公式是什么？

Answer 1

我知道这个问题很老，但没有提供正确或完整的答案，所以我想我会提出一个解决方案。请注意，David 的计算包含多个错误，即使纠正了这些错误，他的解决方案也是不完整的。

首先，定义向量T0 , T1和 T2使用三个斜率:

T0 = ( b - a ) / u0
T1 = ( c - b ) / u1
T2 = ( d - c ) / u2

如果我们知道每对控制点之间的方向和距离，那么我们就不需要比例因子 u0 , u1和 u2 .既然我们只知道斜率，那么 u0 , u1和 u2是未知的标量。此外，我们假设 u0 , u1和 u2非零，因为斜率已定义。

我们可以用几种不同的方式重写这些方程，以获得每个控制点相对于其他控制点的表达式。例如:

b = a + T0*u0
c = b + T1*u1
d = c + T2*u2

该问题还指出，我们有三次贝塞尔曲线的“中点”。我认为这意味着我们的点位于曲线参数范围的中点。我会称这一点 p :

p = ( a + 3*b + 3*c + d ) / 8

在左侧用未知数重写产生:

b + c = ( 8*p - a - d ) / 3

我们现在可以代替 b和 c以各种方式使用较早的表达式。事实证明，当我们有平行向量时会产生歧义 T0 , T1或 T2 .有四种情况需要考虑。

案例1:T0与 T1 不平行

替代 b = a + T0*u0和 c = a + T0*u0 + T1*u1并求解 u0和 u1 :

2*T0*u0 + T1*u1 = ( 8*p - 7*a - d ) / 3

这是两个方程和两个未知数，因为 T0和 T1是向量。替代 u0和 u1回到 b = a + T0*u0和 c = a + T0*u0 + T1*u1获取缺失的控制点 b和 c .

案例2:T1与 T2 不平行

替代 c = d - T2*u2和 b = d - T2*u2 - T1*u1并求解 u1和 u2 :

T1*u1 + 2*T2*u2 = ( a + 7*d - 8*p ) / 3

案例3:T0与 T2 不平行

替代 b = a + T0*u0和 c = d - T2*u2并求解 u0和 u2 :

T0*u0 - T2*u2 = ( 8*p - 4*a - 4*d ) / 3

案例 4:T0 , T1和 T2都是平行的

在这种情况下 a , b , c和 d全部共线且 T0 , T1和 T2都等价于一个比例因子内。没有足够的信息来获得唯一的解决方案。一种简单的解决方案是简单地选择 b通过设置 u0 = 1 :

b = a + T0
(a + T0) + c = ( 8*p - a - d ) / 3
c = ( 8*p - 4*a - d - 3*T0 ) / 3

存在无数的解决方案。本质上，采摘 b定义 c或采摘 c将定义 b .

扩展到 3D

该问题专门询问了平面贝塞尔曲线，但我认为注意到这一点很有趣 p将此问题扩展到非平面 3D 三次贝塞尔曲线时，不需要。在这种情况下，我们可以简单地为 u0 求解这个方程。 , u1和 u2 :

T0*u0 + T1*u1 + T2*u2 = d - a

这是三个方程(向量是 3D 的)和三个未知数( u0 、 u1 和 u2 )。代入 b = a + T0*u0和 c = b + T1*u1或 c = d - T2*u2 yield b和 c .