math - 返回贝塞尔曲线上等弧长点列表的函数

Question

某个地方的某个人不得不解决这个问题。我可以找到很多很好的网站来解释这个问题以及如何解决它。虽然我确信它们写得很好并且对数学高手有意义，但那不是我。虽然我可能以一种模糊的方式理解，但我不明白如何将数学转换为我可以使用的函数。

所以我求求你，如果你有一个函数可以用任何语言做到这一点(当然甚至是 fortran 或见鬼的 6502 汇编程序) - 请帮助我。

更喜欢分析解决方案而不是迭代解决方案

编辑:意思是指定它是我正在尝试使用的三次贝塞尔曲线。

Answer 1

你要的是弧长函数的倒数。因此，给定曲线 B，您需要一个函数 Linv(len)，它返回 0 和 1 之间的 t，使得 0 和 t 之间的曲线的弧长为 len。

如果你有这个功能，你的问题就很容易解决。设 B(0) 为第一点。要找到下一个点，您只需计算 B(Linv(w)) ，其中 w 是您所指的“等弧长”。要获得下一点，只需计算 B(Linv(2*w)) 等，直到 Linv(n*w) 大于 1。

我最近不得不处理这个问题。我已经提出或遇到了一些解决方案，但没有一个让我满意(但也许它们适合你)。

现在，这有点复杂，所以让我先给你源代码的链接:
http://icedtea.classpath.org/~dlila/webrevs/perfWebrev/webrev/raw_files/new/src/share/classes/sun/java2d/pisces/Dasher.java .你想要的是 LengthIterator 类。您不应该查看文件的任何其他部分。在另一个文件中定义了一堆方法。要找到它们，只需删除从/raw_files/到 URL 末尾的所有内容。这就是你如何使用它。在曲线上初始化对象。然后要从曲线的开头获得弧长为 L 的点的参数，只需调用 next(L) (要获得实际点，只需使用 deCasteljau 的算法或 zneak 的建议在此参数处评估您的曲线)。与上一个位置相比，next(x) 的每次后续调用都会沿曲线移动 x 的距离。当您跑出曲线时，next 返回一个负数。

代码说明:因此，我需要一个 t 值，以便 B(0) 到 B(t) 的长度为 LEN(其中 LEN 已知)。我只是把曲线弄平了。因此，只需递归分割曲线，直到每条曲线足够接近一条线(您可以通过比较控制多边形的长度与连接端点的线的长度来测试这一点)。您可以将此子曲线的长度计算为 (controlPolyLength + endPointsSegmentLen)/2。将所有这些长度添加到累加器中，并在累加器值 >= LEN 时停止递归。现在，调用最后一个子曲线 C 并让 [t0, t1] 为其定义域。您知道您想要的 t 是 t0 <= t < t1，并且您知道从 B(0) 到 B(t0) 的长度 - 将此值称为 L0t0。所以，现在您需要找到一个 t，使得 C(0) 到 C(t) 的长度为 LEN-L0t0。这正是我们开始的问题，但规模较小。我们可以使用递归，但这会非常慢，所以我们只是使用 C 是一条非常平坦的曲线这一事实。我们假设 C 是一条线，并使用 P=C(0)+((LEN-L0t0)/length(C))*(C(1)-C(0)) 计算 t 处的点。这个点实际上并不位于曲线上，因为它在 C(0)->C(1) 线上，但它非常接近我们想要的点。所以，我们只求解 Bx(t)=Px 和 By(t)=Py。这只是找到三次根，它有一个闭源解决方案，但我只是使用了牛顿的方法。现在我们有了我们想要的 t，我们可以计算 C(t)，这是实际的点。

我应该提到，几个月前我浏览了一篇论文，其中有另一个解决方案，找到了曲线自然参数化的近似值。作者在这里发布了一个链接:Equidistant points across Bezier curves