recursion - 是否存在具有两个累积变量的 tco 模式？

Question

只是为了好玩(Project Euler #65)我想实现公式

n_k = a_k*n_k-1 + n_k-2

以一种有效的方式。 a_k 是 1或 (* 2 (/ k 3)) ，取决于 k .

我从递归解决方案开始:

(defun numerator-of-convergence-for-e-rec (k)
  "Returns the Nth numerator of convergence for Euler's number e."
  (cond ((or (minusp k)) (zerop k) 0)
        ((= 1 k) 2)
        ((= 2 k) 3)
        ((zerop (mod k 3)) (+ (* 2 (/ k 3) (numerator-of-convergence-for-e-rec (1- k)))
                              (numerator-of-convergence-for-e-rec (- k 2))))
        (t (+ (numerator-of-convergence-for-e-rec (1- k))
              (numerator-of-convergence-for-e-rec (- k 2))))))

适用于小型 k但是对于 k = 100 来说变得很慢， 明显地。

我真的不知道如何将此函数转换为可以进行尾调用优化的版本。我已经看到使用两个累积变量的模式 fibonacci numbers但未能将此模式转换为我的功能。

是否有一般指南如何将复杂的递归转换为 tco 版本，或者我应该直接实现迭代解决方案。？

Answer 1

首先，请注意，记忆化可能是优化代码的最简单方法:它不会反转操作流程；你用给定的 k 调用你的函数，它会回到零来计算以前的值，但是有一个缓存。但是，如果您想使用 TCO 将函数从递归变为迭代，则必须计算从零到 k 的内容，并假装您有一个恒定大小的堆栈/内存。
阶梯函数
首先，编写一个函数，计算给定 k、n-1 和 n-2 的当前 n:

(defun n (k n1 n2)
  (if (plusp k)
      (case k
        (1 2)
        (2 3)
        (t (multiple-value-bind (quotient remainder) (floor k 3)
             (if (zerop remainder)
                 (+ (* 2 quotient n1) n2)
                 (+ n1 n2)))))
      0))

这一步应该很容易；在这里，我稍微重写了你的函数，但实际上我只提取了在给定前面的 n 和 k 的情况下计算 n 的部分。
具有递归(迭代)调用的修改函数
现在，您需要调用 n从 k 开始，从 0 到要计算的最大值，命名为 m此后。因此，我将添加一个参数 m ，它控制递归调用何时停止，并调用 n递归地使用修改后的参数。您可以看到参数被转移，当前 n1是下一个 n2 ， ETC。

(defun f (m k n1 n2)
  (if (< m k)
      n1
      (if (plusp k)
        (case k
          (1 (f m (1+ k) 2 n1))
          (2 (f m (1+ k) 3 n1))
          (t (multiple-value-bind (quotient remainder) (floor k 3)
           (if (zerop remainder)
             (f m (1+ k) (+ (* 2 quotient n1) n2) n1)
             (f m (1+ k) (+ n1 n2) n1)))))
        (f m (1+ k) 0 n1))))

仅此而已，只是您不想向用户显示此界面。实际功能 g正确引导对 f 的初始调用:

(defun g (m)
  (f m 0 0 0))

此函数的跟踪呈现箭头“>”形状，尾递归函数就是这种情况(跟踪可能会抑制尾调用优化):

  0: (G 5)
    1: (F 5 0 0 0)
      2: (F 5 1 0 0)
        3: (F 5 2 2 0)
          4: (F 5 3 3 2)
            5: (F 5 4 8 3)
              6: (F 5 5 11 8)
                7: (F 5 6 19 11)
                7: F returned 19
              6: F returned 19
            5: F returned 19
          4: F returned 19
        3: F returned 19
      2: F returned 19
    1: F returned 19
  0: G returned 19
19

带循环的驱动函数
当我们在原始函数 n 中注入(inject)尾递归调用时，可能会有点困难，或者使您的代码难以阅读。 .我认为最好使用循环，因为:

与尾递归调用不同，您可以保证代码将按照您的意愿运行，而不必担心您的实现是否会真正优化尾调用。

步进函数的代码 n更简单，只表达正在发生的事情，而不是详细说明如何(尾递归调用在这里只是一个实现细节)。

用上面的函数 n ，您可以更改 g到:

(defun g (m)
  (loop
     for k from 0 to m
     for n2 = 0 then n1
     for n1 = 0 then n
     for n = (n k n1 n2)
     finally (return n)))

Is there a general guideline how to transform complex recursions totco versions or should I implement an iterative solution directly?

找到一个阶梯函数，将计算从基本情况推进到一般情况，并将中间变量作为参数，特别是过去调用的结果。该函数可以调用自身(在这种情况下，它将是尾递归的，因为您必须先计算所有参数)，或者简单地在循环中调用。计算初始值时必须小心，与简单的递归函数相比，您可能有更多的极端情况。
也可以看看
方案 named let , RECUR Common Lisp 中的宏和 recur Clojure 中的特殊形式。