julia - 如何在 Julia 中构建 POE 集成

Question

我在 julia 中构建 POE 合奏时遇到了麻烦。我正在关注 this纸和其他部分 paper .

在 Julia 中，我计算:

X = randn(dim, dim)
Q, R = qr(X)
Q = Q*diagm(sign(diag(R)))
ij = (irealiz-1)*dim
phases_ens[1+ij:ij+dim] = angle(eigvals(Q))

哪里 dim是矩阵维度和 irealiz只是实现总数的索引。

我对 Q 的相位感兴趣，因为我希望 Q 是具有适当 Haar 测度的正交矩阵。如 dim=50实现总数为 100000 ，并且由于我正在更正 Q，我应该期待持平 phases_ens分配。但是，除了零和 pi 处的峰值外，我获得了平坦的分布。代码有问题吗？

Answer 1

代码实际上是正确的，你只是输入了错误的字段

对于酉矩阵(复数项)，特征值结果为真；基于 Edelman 和 Rao 论文第 4.6 节中的代码，如果将第一行替换为

X = randn(dim, dim) + im*randn(dim, dim)

你会得到你想要的结果。

正交矩阵(实际条目)的行为略有不同(请参阅注释 1，在 this paper 的第 3 节中):

当dims是奇数，一个特征值将是 +1 或 -1(每个都有 1/2 的概率)，所有其他特征值将作为共轭对出现。

当dims是偶数，+1 和 -1 都是概率为 1/2 的特征值，否则没有真正的特征值。

(顺便感谢链接:我不知道斯图尔特的论文)