haskell - Church-encoded 列表的 Catamorphisms

Question

我希望能够使用 cata来自 recursion-schemes Church 编码列表的包。

type ListC a = forall b. (a -> b -> b) -> b -> b

为方便起见，我使用了二级类型，但我不在乎。随意添加 newtype ，如果您觉得有必要，请使用 GADTs 等。

Church 编码的思想广为人知且简单:

three :: a -> a -> a -> List1 a 
three a b c = \cons nil -> cons a $ cons b $ cons c nil

基本上是“未指定的抽象” cons和 nil用于代替“普通”构造函数。我相信一切都可以用这种方式编码( Maybe 、树等)。

很容易证明 List1确实与普通列表同构:

toList :: List1 a -> [a]
toList f = f (:) []

fromList :: [a] -> List1 a
fromList l = \cons nil -> foldr cons nil l

所以它的基函数和列表一样，应该可以实现 project并使用来自 recursion-schemes 的机器.

但我不能，所以我的问题是“我该怎么做？”。对于普通列表，我可以只进行模式匹配:

decons :: [a] -> ListF a [a]
decons [] = Nil
decons (x:xs) = Cons x xs

由于我无法对函数进行模式匹配，因此我必须使用折叠来解构列表。我可以写一个基于折叠的 project对于普通列表:

decons2 :: [a] -> ListF a [a]
decons2 = foldr f Nil
  where f h Nil = Cons h []
        f h (Cons hh t) = Cons h $ hh : t

但是，我未能将其调整为 Church-encoded 列表:

-- decons3 :: ListC a -> ListF a (ListC a)
decons3 ff = ff f Nil
  where f h Nil = Cons h $ \cons nil -> nil
        f h (Cons hh t) = Cons h $ \cons nil -> cons hh (t cons nil)

cata具有以下签名:

cata :: Recursive t => (Base t a -> a) -> t -> a

要将它与我的列表一起使用，我需要:

使用 type family instance Base (ListC a) = ListF a 声明列表的基本仿函数类型

实现 instance Recursive (List a) where project = ...

我两步都失败了。

Answer 1

newtype包装器原来是我错过的关键步骤。这是来自 recursion-schemes 的代码以及示例 catamorphism .

{-# LANGUAGE LambdaCase, Rank2Types, TypeFamilies #-}

import Data.Functor.Foldable

newtype ListC a = ListC { foldListC :: forall b. (a -> b -> b) -> b -> b }

type instance Base (ListC a) = ListF a

cons :: a -> ListC a -> ListC a
cons x (ListC xs) = ListC $ \cons' nil' -> x `cons'` xs cons' nil'
nil :: ListC a
nil = ListC $ \cons' nil' -> nil'

toList :: ListC a -> [a]
toList f = foldListC f (:) []
fromList :: [a] -> ListC a
fromList l = foldr cons nil l

instance Recursive (ListC a) where
  project xs = foldListC xs f Nil
    where f x Nil = Cons x nil
          f x (Cons tx xs) = Cons x $ tx `cons` xs

len = cata $ \case Nil -> 0
                   Cons _ l -> l + 1