coq - `auto` 如何与条件(if)交互

Question

我注意到，auto忽略双条件。这是一个简化的示例:

Parameter A B : Prop.
Parameter A_iff_B : A <-> B.

Theorem foo1: A -> B.
Proof.
  intros H. apply A_iff_B. assumption.
Qed.

Theorem bar1: B -> A.
Proof.
  intros H. apply A_iff_B. assumption.
Qed.

Theorem foo2_failing: A -> B.
Proof.
  intros H. auto using A_iff_B.
Abort.

Theorem bar2_failing: B -> A.
Proof.
  intros H. auto using A_iff_B.
Abort.

现在，我知道 A <-> B是 A -> B /\ B -> A 的语法糖所以我写了两个定理来提取一个或另一个:

Theorem iff_forward : forall {P Q : Prop},
  (P <-> Q) -> P -> Q.
Proof.
  intros P Q H. apply H.
Qed.

Theorem iff_backward : forall {P Q : Prop},
  (P <-> Q) -> Q -> P.
Proof.
  intros P Q H. apply H.
Qed.

Theorem foo3: A -> B.
Proof.
  intros H.
  auto using (iff_forward A_iff_B).
Qed.

Theorem bar3: B -> A.
Proof.
  intros H.
  auto using (iff_backward A_iff_B).
Qed.

怎么来的apply A_iff_B作品和 auto using A_iff_B才不是？一世
以为auto n正在对所有内容进行详尽的搜索apply 的可能序列长度 <= n 使用假设
以及给定数据库中的所有定理。

是否有使用双条件的标准技巧或
这两个投影函数通常的解决方案？

标准库中有这样的投影函数吗？一世
找不到他们。

Answer 1

1. How come apply A_iff_B works and auto using A_iff_B does not?

auto一般使用 simple apply而不是 apply而这个受限版本的 apply不处理双条件。

2. Is there a standard trick for working with biconditionals or are those two projection functions the usual solution?

您可以使用 Hint Resolve -> (<-)功能:

Hint Resolve -> A_iff_B.
Hint Resolve <- A_iff_B. (* if you remove this one, then `auto` won't be able to prove the `bar3` theorem *)

Theorem foo3: A -> B.
Proof. info_auto. Qed. (* look at the output *)

3. Are such projection functions somewhere in the standard library?

是的，他们被称为: proj1和 proj2 .您可以通过以下方式找到它们:

Search (?A /\ ?B -> ?A).

或者更容易打字，但发现的东西比我们需要的要多一点:

Search (_ /\ _ -> _).