haskell - 授予可遍历的 F 代数，是否可能对应用代数进行变形？

Question

我有这个 F-代数 (introduced in a previous question)，我想在它上面施放一个有效的代数。通过绝望的试验，我设法组合了一个有效的 monadic catamorphism。我想知道它是否可以推广到应用程序，如果不能，为什么。

这就是我定义的方式 Traversable :

instance Traversable Expr where
    traverse f (Branch xs) = fmap Branch $ traverse f xs
    traverse f (Leaf   i ) = pure $ Leaf i

这是 monadic catamorphism:

type AlgebraM a f b = a b -> f b

cataM :: (Monad f, Traversable a) => AlgebraM a f b -> Fix a -> f b
cataM f x = f =<< (traverse (cataM f) . unFix $ x)

这就是它的工作原理:

λ let printAndReturn x = print x >> pure x
λ cataM (printAndReturn . evalSum) $ branch [branch [leaf 1, leaf 2], leaf 3]
1
2
3
3
6
6

我现在的想法是我可以这样重写:

cataA :: (Applicative f, Traversable a) => AlgebraM a f b -> Fix a -> f b
cataA f x = do
    subtree <- traverse (cataA f) . unFix $ x
    value <- f subtree
    return value

不幸的是， value这里取决于 subtree和， according to a paper on applicative do-notation ，在这种情况下，我们不能对 Applicative 进行脱糖。似乎没有办法解决这个问题；我们需要一个 monad 从嵌套的深处浮出水面。

这是真的吗？我可以安全地得出结论，只有平面结构可以单独使用应用效果折叠吗？

Answer 1

Can I safely conclude that only flat structures can be folded with applicative effects alone?

你可以再说一遍!毕竟，“扁平化嵌套结构”正是使 monad 成为 monad 的原因，而不是 Applicative它只能组合相邻的结构。比较(一个版本)两个抽象的签名:

class Functor f => Applicative f where
    pure :: a -> f a
    (<.>) :: f a -> f b -> f (a, b)

class Applicative m => Monad m where
    join :: m (m a) -> m a

什么 Monad添加到 Applicative是能够展平嵌套 m s 合一 m .这就是为什么 []的 join是 concat . Applicative只让你粉碎至今无关 f s。

免费 monad 的 Free 绝非巧合构造函数包含一个整体 f满 Free f s，而免费应用程序的 Ap构造函数只包含一个 Ap f .

data Free f a = Return a | Free (f (Free f a))
data Ap f a where
    Pure :: a -> Ap f a
    Cons :: f a -> Ap f b -> Ap f (a, b)

希望这能让你对为什么你应该期望不可能使用 Applicative 折叠一棵树有一些直觉。 .

让我们打一个小网球，看看它是如何晃动的。我们想写

cataA :: (Traversable f, Applicative m) => (f a -> m a) -> Fix f -> m a
cataA f (Fix xs) = _

我们有 xs :: f (Fix f)和一个 Traversable为 f .我在这里的第一直觉是 traverse f折叠包含的子树:

cataA f (Fix xs) = _ $ traverse (cataA f) xs

该洞现在的目标类型为 m (f a) -> m a .因为有一个 f :: f a -> m a敲一下，让我们尝试下 m转换包含的 f s:

cataA f (Fix xs) = _ $ fmap f $ traverse (cataA f) xs

现在我们的目标类型为 m (m a) -> m a , 即 join .所以你确实需要一个 Monad毕竟。