3d - "sphere in a bag"平面到球体的投影

Question

我正在寻找一种数学变换，以将2D平面[0,1]x[0,1]上的点变换到单位球面上。

最常见的投影是通过将u和v解释为球坐标的角度来进行纬度-经度映射(将u映射为[0,2PI]和v映射为[-PI/2, PI/2])

这会在球体的两极产生强烈的变形。人们可以认为这种转换就像将球体包裹在糖果纸中，在纸的两端旋转。这将在这两个末端产生失真。

我正在寻找的转换方法可以是将球体放置在纸的中间，然后将球体的所有侧面都缠绕在一起，然后将它们一起旋转到一个点上，这样您可以得到一个带有纸球的小纸袋。这在“袋子”的底部产生最小的变形，在顶部产生最大的变形-如果从下面看，变形在所有方向上都是相等的。

有人可以告诉我如何计算这种映射吗？

Answer 1

对于您描述的映射，可以使用极坐标:(x，y)->(r，alpha)，其中r在[0,1]中，代表与矩形O( 0.5,0.5)到当前点P(x，y)，以及该段在当前alpha值下可能具有的最大长度。然后将r映射到[-PI/2，PI/2]，将alpha映射到[0,2PI]。