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(我很抱歉我不知道如何更好地表达这个问题)
假设我有这样的数据类型:
data Foo = A | B
现在我想要一对
Foo
,约束条件为
(A, A)
禁止。
data Foo2 = AB | BA | BB
但正如你所看到的,这很快就会失控:如果我们想要
Foo
的 n 元组怎么办? ?或者如果有更多
Foo
的替代品怎么办? ?
newtype
和智能构造函数
newtype Foo2 = Foo2 (Foo, Foo)
mkFoo2 xy = Foo2 xy <$ guard (xy /= (A,A))
但这在某种意义上是“不准确的”,因为当我们破坏
Foo2
,我们总是不得不处理实际上无法到达的情况,而编译器却没有这样的知识:
...
case v :: Foo2 of
...
Foo2 (A, A) -> error "unreachable"
...
我的问题是,有没有更好的方法来准确表示“Foo 的 n 元组,其中某些组合,如
(A,A)
或
(A,B,C)
(当
n=3
时)是不可能的”?
Foo^n - (forbidden combinations)
同构的类型对于 n 元组。
最佳答案
在 Haskell 中没有简单的方法来禁止“所有 A
s”。
在像 Agda/Coq 这样的依赖类型语言中,我们可以使用 sigma 类型来放置任意约束。然而,这需要程序员在每次使用构造函数时编写数学证明,证明我们实际上并没有尝试构造“禁止”值之一。
相反,在 Haskell 中,我们没有这样的选择。一种选择可能是定义一堆类型。
data NotA = B | C
data Any = A | NA NotA
-- 1-tuple, not all As
data NotAllAs1
= N1 NotA
-- 2-tuple, not all As
data NotAllAs2
= N2 NotA Any
| N2a NotAllAs1 -- first A implicit
-- 3-tuple, not all As
data NotAllAs3
= N3 NotA (Any, Any)
| N3a NotAllAs1 -- first A implicit
等等。这一点都不方便,因为我们需要使用大量的构造函数。即使最终结果与我们想要的同构,也太麻烦了。
{-# LANGUAGE GADTs, DataKinds, TypeFamilies #-}
-- We define some tags for being A and not A
data IsA = IsA | NotA
-- Type T is indexed with the proper tag
data T (a :: IsA) where
A :: T 'IsA
B :: T 'NotA
C :: T 'NotA
-- We want "at least one non-A" so we define an "or"
-- operation between two tags.
type family Or (a1 :: IsA) (a2 :: IsA) :: IsA where
Or 'IsA a2 = a2
Or 'NotA _ = 'NotA
-- Peano naturals to encode tuple length
data Nat = Z | S Nat
-- The wanted tuple type
type NotAllAs (n :: Nat) = NA n 'NotA
-- NA n t is the type for an n-tuple having either all As
-- (if t ~ IsA) or some non-A (if t ~ NotA)
data NA (n :: Nat) (t :: IsA) where
Nil :: NA 'Z 'IsA
Cons :: T a1 -> NA n a2 -> NA ('S n) (Or a1 a2)
最后,几个测试,取消注释一个来尝试。
test :: NotAllAs ('S ('S ('S 'Z)))
test =
-- Cons A (Cons A (Cons A Nil)) -- Couldn't match type 'IsA with 'NotA
-- Cons A (Cons A (Cons B Nil)) -- OK
-- Cons A (Cons B (Cons A Nil)) -- OK
-- Cons B (Cons A (Cons A Nil)) -- OK
下面的测试测试消除(模式匹配)。它不会为不可能的情况触发警告
A,A,A
: 匹配被认为是详尽的。
elim :: NotAllAs ('S ('S ('S 'Z))) -> Int
elim (Cons A (Cons A (Cons B Nil))) = 1
elim (Cons A (Cons A (Cons C Nil))) = 2
elim (Cons A (Cons B _ )) = 3
elim (Cons A (Cons C _ )) = 4
elim (Cons B _ ) = 5
elim (Cons C _ ) = 6
也没有警告:
A,A
是不可能的。
elim2 :: NotAllAs ('S ('S 'Z)) -> Int
elim2 (Cons x (Cons A Nil)) = case x of B -> 1 ; C -> 2
elim2 (Cons _ (Cons B Nil)) = 3
elim2 (Cons _ (Cons C Nil)) = 4
在依赖类型语言中,执行消除并不是那么容易,因为我们需要证明匹配确实是穷举的,通常通过对所有情况执行依赖匹配,包括
A,A
然后达到矛盾。相比之下,这是 Coq 中消除的样子:
Inductive T: Set := A | B | C .
(* The constraint is trivial to specify. *)
Definition NotAllA2 := { p: T*T | p <> (A,A) } .
(* We will need this trivial lemma later *)
Lemma lem: forall x, (x,A) <> (A,A) -> x<>A .
Proof.
intros x h h2.
subst.
apply h.
reflexivity.
Qed.
Definition elim2 (v: NotAllA2): nat :=
match v with
| exist _ p h => (* h is the proof that our constraint holds *)
match p return p<>(A,A) -> nat with
| (x,A) => fun h2: (x,A)<>(A,A) =>
match x return x<>A -> nat with
(* We need to prove that A is impossible here *)
| A => fun h3 => match h3 eq_refl with end
| B => fun _ => 1
| C => fun _ => 2
end (lem x h2)
| (_,B) => fun _ => 3
| (_,C) => fun _ => 4
end h
end.
(可能有一个更短/更简单的 Coq 解决方案,但这是我能设法制作的第一个。)
关于haskell - Haskell 中是否有一种准确的方法来编码 Foo 的元组,其中某些特定组合是被禁止的?,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/70590623/
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