math - 数学计算简单的图形管线

Question

我试图做/理解图形管道中从VRML之类的3D场景描述中渲染简单2D图像所需的所有基本数学计算。是否有所需步骤的好示例，例如模型转换（对象坐标到世界坐标），视图转换（从世界坐标到视图坐标），照明顶点法线的计算，修剪，计算视图内对象的屏幕坐标截锥体并创建2D投影以计算带有颜色的单个像素。

Answer 1

我已经习惯了OpenGL风格的渲染数学，所以我坚持使用它（所有渲染都使用几乎相同的数学）

首先来一些热身来解释：


变换矩阵

表示3D空间中的坐标系

double m[16]; // it is 4x4 matrix stored as 1 dimensional array for speed
m[0]=xx; m[4]=yx; m[ 8]=zx; m[12]=x0;
m[1]=xy; m[5]=yy; m[ 9]=zy; m[13]=y0;
m[2]=xz; m[6]=yz; m[10]=zz; m[14]=z0;
m[3]= 0; m[7]= 0; m[11]= 0; m[15]= 1;

哪里：


X(xx,xy,xz)是GCS（全局坐标系）中 X轴的单位向量
Y(yx,yy,yz)是GCS中 Y轴的单位向量
Z(zx,zy,zz)是GCS中 Z轴的单位向量
P(x0,y0,z0)是GCS中表示的坐标系的原点


转换矩阵用于在GCS和LCS（局部坐标系）之间转换坐标


GCS -> LCS： Al = Ag * m;
GCS <- LCS： Ag = Al * (m^-1);
Al (x,y,z,w=1)是LCS中的3D点...在均匀坐标中
Ag (x,y,z,w=1)是GCS中的3D点...在均匀坐标中


添加了均质坐标 w=1，因此我们可以将3D矢量乘以4x4矩阵


m转换矩阵
m^-1逆变换矩阵


在大多数情况下， m是正交的，这意味着 X,Y,Z向量彼此垂直，并且具有单位大小，可以用于旋转，平移等之后恢复矩阵的精度...

有关更多信息，请参见 Understanding 4x4 homogenous transform matrices
渲染矩阵

通常使用以下矩阵：


model-表示实际的渲染对象坐标系
view-表示相机坐标系（ Z轴是视图方向）
modelview-模型和视图相乘
normal-与 modelview相同，但 x0,y0,z0 = 0用于法向矢量计算
texture-操作纹理坐标以简化纹理动画并效果通常为单位矩阵
projection-代表摄像机视图的投影（ perspective，正射，...），它不应包含任何旋转或平移，更像是摄像机传感器校准（否则雾和其他效果将失败...）

渲染数学

要渲染3D场景，您需要2D渲染例程，例如绘制2D纹理三角形。渲染将3D场景数据转换为2D并进行渲染。那里有更多的技术，但最常用的是使用边界模型表示+边界渲染（仅表面）3D -> 2D转换是通过投影（正交或透视）和Z缓冲区或Z排序完成的。


Z缓冲区易于使用，并且是现今gfx硬件所固有的
Z排序由CPU代替，因此它的速度较慢并且需要额外的内存，但是这对于正确的透明曲面渲染是必需的。



所以管道是这样的：


从模型获取实际的渲染数据


顶点 v
普通 n
纹理坐标 t
颜色，雾度等

将其转换为适当的空间


v=projection*view*model*v ...相机空间+投影
n=normal*n ...全球空间
t=texture*t ...纹理空间

将数据剪辑到屏幕

此步骤不是必需的，但可以加快渲染屏幕内容的速度，而且通常在此处进行人脸剔除。如果渲染的“三角形”的法向矢量相反，则多边形缠绕规则集将忽略“三角形”
渲染3D / 2D数据

仅使用 v.x,v.y坐标进行屏幕渲染，使用v.z进行z缓冲区测试/值，这里也进行透视投影的透视划分


v.x/=v.z,vy/=v.z


Z缓冲区的工作方式如下：Z缓冲区（ zed）是2D数组，其大小（分辨率）与屏幕（ scr）相同。在这种情况下，任何像素 scr[y][x]仅呈现 if (zed[y][x]>=z) scr[y][x]=color; zed[y][x]=z; if条件可以不同（可更改）

在使用三角形或更高级的图元进行渲染的情况下，生成的2D图元在称为栅格化的过程中转换为像素，例如：


Algorithm to fill triangle



为了更加清楚，这是它的外观：



[笔记]

转换矩阵是可乘的，因此，如果您需要通过 N矩阵转换 M点，则可以创建单个 matrix = m1*m2*...mM并仅通过由此得到的 N转换 matrix点（用于速度）。有时使用 3x3变换矩阵+ shift vector代替 4x4矩阵。在某些情况下它是更快的，但是您不能轻易地将更多的变换相乘。对于变换矩阵操纵，请寻找诸如Rotate或Translate之类的基本操作，在LCS内还存在用于旋转的矩阵，这些矩阵更适合于人工控制输入，但它们并非像OpenGL或DirectX那样固有于渲染。 （因为他们使用逆矩阵）

现在，以上所有内容均用于标准多边形渲染（对象的表面边界表示）。还有其他渲染器，如体积渲染或（后退）光线跟踪器和混合方法。场景也可以具有任何尺寸，而不仅仅是3D。以下是一些涉及这些主题的相关质量检查：


GLSL 3D Volumetric back raytracer
GLSL 3D Mesh back raytracer
2D Doom/Wolfenstein techniques
4D Rendering techniques