math - 针孔相机投影矩阵解释

Question

在阅读了一些有关针孔相机及其投影矩阵的设置方式的 Material 后，我试图解决附带的问题，但我仍然不确定我是否理解所有数学。在附带的问题中，据我所知，当将相机的 COP 移动到 -2Zp 时，我基本上增加了相机的焦距 View ，这基本上给我提供了与现在仅给出的矩阵相同的矩阵，第 3 行的第 3 个元素是 1/3Zp而不是 1/Zp，对吗？

如果是这样，你如何计算 t 的新位置，将它乘以我得到的新矩阵给我 (0, Yp, 2/3)T。是确保最后一个数字是 1 而不是 2/3 的解决方案，所以我得到 (0,2Yp/3, 1)。有人可以解释齐次坐标在这种情况下是如何工作的吗？

除了 c 非常清楚之外，我还会得到一个正交投影。有人可以帮助完成 d 部分吗？

Answer 1

画个图可能会有帮助。您可以通过忽略将所有内容置于 2D 中的 x 坐标来使事情变得更简单。在这个更简单的图中，要找到点 t 在平面 PP 上的投影，只需从针孔的位置到该点画一条线即可。这使得从每个点应该投影到的图表中计算出来变得非常容易。您可以使用它来检查矩阵的计算结果。

你有一半的答案，如果我们在原点有一个针孔并且平面距离矩阵 3Zp 的距离

    ( 1   0   0     0   )
M = ( 0   1   0     0   )
    ( 0   0   1/3Zp 0   )

这仅在针孔位于原点时有效。在 a) 部分不是。

您需要做的是应用翻译。如果 a) 翻译所有内容，使 COP2 位于原点，应用投影，然后应用翻译的逆过程。如果我们向 M 添加第四行，事情会更容易

    ( 1   0    0      0 )
M = ( 0   1    0      0 )
    ( 0   0    1      0 )
    ( 0   0    1/3Zp  0 ) Note modified form.

距离 d 沿 z 轴的平移由

给出

    ( 1   0   0   0 )
T = ( 0   1   0   0 )
    ( 0   0   1   d )
    ( 0   0   0   1 )

反过来就是

    ( 1   0   0   0 )
T'= ( 0   1   0   0 )
    ( 0   0   1  -d )
    ( 0   0   0   1 )

找到最终的投影矩阵

T' M T.

最后，我们通过删除第三个坐标从 4D (x,y,z,w) 转到 3D (x,y,w)。您可以通过乘以 3X4 矩阵来实现。

注意参见Transformation matrix section perspective projection透视投影的正确形式。

为了明确起见，令 a=Zp。翻译是

    ( 1   0   0   0    )
T = ( 0   1   0   0    )
    ( 0   0   1   -2 a )
    ( 0   0   0   1    )

从原点到平面 3Zp 的投影是

    ( 1   0    0        0 )
M = ( 0   1    0        0 )
    ( 0   0    1        0 )
    ( 0   0    -1/(3a)  0 )

找到 T' M T 结果是

    ( 1   0    0       0    )
N = ( 0   1    0       0    )
    ( 0   0   1/3    -2/3 a )
    ( 0   0  -1/(3a)  2/3   )

我们申请我们的两点

    (  0  )   (  0  )    (  0  )
 N  (  Yp ) = (  Yp ) -> (  Yp )
    ( -a  )   ( -a  )    ( -a  )
    ( 1   )   (  1  )

    (  0  )   (  0     )    (  0      )
 N  (  Yp ) = (  Yp    ) -> (  3/4 Yp )
    ( -2a )   ( -4/3 a )    ( -a      )
    ( 1   )   (  4/3   )

最后一步是除以 w，所以我们有 (x,y,z) 坐标位于平面 z=-a=-Zp 上。这些与我们从图中得到的一致。如果你愿意，你可以删除第 N 行的第 3 行。