automation - 有没有办法通过重写步骤自动化 Coq 证明？

Question

我正在做一个证明，我的一个子目标看起来有点像这样:

Goal forall
  (a b : bool)
  (p: Prop)
  (H1: p -> a = b)
  (H2: p),
  negb a = negb b.
Proof.
  intros.
  apply H1 in H2. rewrite H2. reflexivity.
Qed.

证明不依赖于任何外部引理，仅包括将上下文中的一个假设应用于另一个假设，并使用已知假设进行重写步骤。

有没有办法自动化这个？我试着做 intros. auto.但它没有效果。我怀疑这是因为 auto只能做 apply步骤但没有 rewrite步骤，但我不确定。也许我需要一些更强的战术？

我想自动化这一点的原因是，在我的原始问题中，我实际上有大量与此非常相似的子目标，但假设的名称(H1、H2 等)、假设(有时有一两个额外的归纳假设)和最后的 bool 公式。我认为如果我可以使用自动化来解决这个问题，我的整体证明脚本会更加简洁和健壮。

编辑:如果假设之一中有 forall 怎么办？

Goal forall
  (a b c : bool)
  (p: bool -> Prop)
  (H1: forall x, p x -> a = b)
  (H2: p c),
  negb a = negb b.
Proof.
  intros.
  apply H1 in H2. subst. reflexivity.
Qed

Answer 1

当您在证明某些引理的方式中看到重复模式时，您通常可以定义自己的策略来自动化证明。

在您的具体情况下，您可以编写以下内容:

Ltac rewrite_all' :=
  match goal with
  | H  : _ |- _ => rewrite H; rewrite_all'
  | _ => idtac
 end.

Ltac apply_in_all :=
  match goal with
  | H  : _, H2 : _ |- _ => apply H in H2; apply_in_all
  | _ => idtac
 end.

Ltac my_tac :=
  intros;
  apply_in_all;
  rewrite_all';
  auto.

Goal forall (a b : bool) (p: Prop) (H1: p -> a = b) (H2: p), negb a = negb b.
Proof.
  my_tac.
Qed.

Goal forall (a b c : bool) (p: bool -> Prop)
  (H1: forall x, p x -> a = b)
  (H2: p c),
  negb a = negb b.
Proof.
  my_tac.
Qed.

如果你想走这条写校样的道路，经常推荐的一个引用(但我没有读过)是 CPDT通过亚当·奇利帕拉。