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algorithm - 多项式乘法的朴素分而治之方法

转载 作者:行者123 更新时间:2023-12-04 17:51:45 28 4
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给定两个多项式 A(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 和 B(x),与系数 b0、b< sub>1 ... bn-1,求A(x) * B(x)。

我正在研究一个简单的分而治之算法作为学习 Karatsuba 算法的序言,我了解基本原理,即:

定义 A(x) = M0(x) + M1(x)xn/2,其中 M1(x) = an-1xn/2-1 + an-2x n/2-2 + ... + an/2(即上半系数)和 M0(x) = an/2-1xn/2-1 + an/2-2xn/2-2 + 。 .. + a0(即下半系数),B(x) = N0(x) + N1(x) xn/2,其中 N0(x) 和 N1(x) 以与 M0< 类似的方式定义/sub>(x) 和 M1(x),分别。那么我们可以将 A(x) * B(x) 重写为 (M1N1)xn + (M1 N0 + M0N1)xn/2 + M0 N0.

但是,我在理解所提供的伪代码中的“征服”步骤时遇到了一些困难:

Function PolyMult(A, B, n, a, b)
R = array[0 ... 2n - 1];
if n = 1:
R[0] = A[a] * B[b]; return R;
R[0 ... n - 2] = PolyMult(A, B, n/2, a, b);
R[n ... 2n - 2] = PolyMult(A, B, n/2, a + n/2, b + n/2);
MN = PolyMult(A, B, n/2, a, b + n/2);
NM = PolyMult(A, B, n/2, a + n/2, b);
R[n/2 ... n + n /2 - 2] += MN + NM;
return R;
End Function

具体来说,我不确定为什么结果数组的前 n - 1 项和最后 n - 1 项可以直接初始化,而中间的 n - 1 项需要通过加法赋值计算。有人可以详细说明算法的这方面吗?

总的来说,我认为我缺少一些关于递归或分而治之(似乎两者都有)的重要直觉。尝试实现递归分而治之解决方案时,重要的一般范例是什么?

最佳答案

提示:多项式 M0、M1、N0、N1 的(最大)次数是多少?

n/2-1

每个产品的(最大)程度是多少 M0*N0 M1*N1 M0*N1 m1*N0?

n - 2

现在 M1*N1*x^n 的次数 ?

2*n - 2

M1*N1*x^n 从 0 到 n - 2 的系数值是多少?

0

那么它们是否与 M0*N0 的系数重叠?

no

现在最后一部分(M0*N1+M1*N0)*x^(n/2),估值和程度是多少?

n/2 and n/2 + n - 2 respectively

这些是否与 M0*N0 和 M1*N1*x^n 部分重叠?

yes

所以你必须在最后一部分使用+=

关于algorithm - 多项式乘法的朴素分而治之方法,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/44170676/

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