Tweedie 复合泊松 Gamma 的 R 代码

Question

我发现以下 R 代码适合 Tweedie Compound Poisson Gamma 分布。我必须使它适合我的 399 claim 金额。我看过以下 R 代码 ptweedie.series(q, power, mu, phi) 和 dtweedie.series(y, power, mu, phi)。但是我无法完全理解这些代码，将我的数据导入 R 后，如何进行？提前致谢。

Answer 1

首先请注意:从上述评论中导入您的数据集产生了 398 项声明，而不是 399 项。其中一项声明比声明中位数大 4 个数量级。所以我怀疑打字错误。在接下来的分析中，我排除了那个样本，剩下 397 个。

快速查看 Tweedie Distributions 的维基百科条目表明这实际上是一个由 power 参数(R 文档中的 xi)区分的指数分布族。 Power=1 产生泊松分布，power=2 产生 Gamma 分布，power=3 产生逆高斯分布，等等。 Tweedie 分布也定义为非整数幂。参数mu为均值，phi为离散参数，与方差有关。

因此，据我所知，基本问题是幂、mu 和 phi 的哪种组合产生最适合您的 claim 数据的分布？

评估分布是否适合样本的一种方法是 Q-Q 图。这绘制了样本的分位数与测试分布的分位数。如果样本分布为测试分布，则 Q-Q 图应该是一条直线。在 R 代码中(并使用 X 作为样本向量):

summary(X)        # NOTE: max/median > 1e4 !!!
#     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
# 1.00e+03 5.50e+03 1.20e+04 5.47e+05 2.50e+04 2.08e+08 
X <- X[X<max(X)]   # remove largest value (erroneous??)
hist(X,breaks=c(seq(1,1e5,1000),Inf),xlim=c(0,100000))

library(tweedie)
qqTweedie <- function(xi,p,mu,phi) {
  names <- c("Poisson","Gamma","Inverse Gaussian","Positive Stable")
  plot(qtweedie(p,xi,mu,phi),quantile(X,probs=p),
       main=paste0("Power = ",xi," (",names[xi],")"))
  qqline(X,prob=c(0.25,0.75), col="blue", lty=2,
         distribution=function(p) qtweedie(p,xi,mu,phi))
}
p <- seq(0.02,0.98,length=100)
par(mfrow=c(2,2))
lapply(c(1:4),qqTweedie,p=p,mu=1,phi=1)

Gamma 分布和逆高斯分布都可以解释您的数据，最高可达 ~40,000。 Gamma 分布低估了较大 claim 的频率，而逆高斯分布高估了它们的频率。所以让我们试试 power=2.5。

par(mfrow=c(1,1))
xi <- 2.5
plot(qtweedie(p,xi,1,1),quantile(X,probs=p),main=paste0("Power = ",xi))
qqline(X,prob=c(0.25,0.75), col="blue", lty=2,
       distribution=function(p) qtweedie(p,xi,1,1))

因此，您的 claim 数据似乎服从幂 = 2.5 的 tweedie 分布。下一步是估计 mu 和 phi，给定 power=2.5。这是一个二维的非线性优化问题，所以我们使用包nloptr。事实证明，收敛取决于使起始参数相对接近最优值，因此需要进行大量的反复试验才能使 nlopt(...) 收敛。

library(nloptr)
F <- function(params){ # Note: xi, Q, and p are defined external to F
  mu  <- params[1]
  phi <- params[2]
  return(sum(Q - qtweedie(p,xi,mu,phi))^2)
}
xi <- 2.5
Q <- quantile(X,p) 
opt <- nloptr(x0=c(mu=1e4,phi=.01), eval_f=F, ub=c(5e4,.1), lb = c(1,0), 
              opts = list(algorithm="NLOPT_LN_COBYLA",maxeval=1e3,print_level=1))
opt$solution
# [1] 1.884839e+04 9.735325e-03

最后，我们确认解决方案确实很好地拟合了数据。

mu  <- opt$solution[1]
phi <- opt$solution[2]
par(mfrow=c(1,1))
hist(X,breaks=c(seq(1,1e5,1000),Inf),xlim=c(0,1e5))
x <- seq(1,1e5,1e3)
lines(x,dtweedie(x,xi,mu,phi),col="red")