wolfram-mathematica - 在Mathematica中，如何定义任意概率分布？

Question

我想要一个积分为1且对所有x都为0 <= p [x] <= 1的任意函数p [x]。某种转换规则？

Answer 1

您可以为此使用ProbabilityDistribution以及x的未定义函数:

dist = ProbabilityDistribution[p[x], {x, -Infinity, Infinity}];

现在，它知道一些适用的规则:

连续概率密度:单个值的概率为零

In[26]:= Probability[x == 0, x \[Distributed] dist]

Out[26]= 0

完全具有值的概率

In[28]:= Probability[x > 0 || x <= 0, x \[Distributed] dist]

Out[28]= 1

CDF位于-无穷大

In[29]:= CDF[dist][-\[Infinity]]

Out[29]= 0

CDF位于+无穷大

In[30]:= CDF[dist][\[Infinity]]

Out[30]= 1

PDF

In[32]:= PDF[dist][x]

Out[32]= p[x]

但是，它不假定发行版的PDF已标准化:

In[33]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]

Out[33]= Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}]

可以教后者，为p定义一个UpValue:

p /: Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}] = 1;

现在它可以集成PDF:

In[4]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]

Out[4]= 1

您知道您的第二个要求(即 0 <= p[x] <= 1)对于概率密度函数通常不是正确的，对吗？