julia - 使用 julia 计算特征向量时失去对称性

Question

有人能指出为什么 Julia 在对某些类型的矩阵进行对角化时会失去对称性吗？ (在下面我将忽略归一化常量。)我一直在尝试解决以下 Floquet 矩阵:

U[i,i] = exp(-i^2im/N),

与 N矩阵和其他分量的维数为零。显然，这是哈密顿量的“时间演化”

H = p^2/2.

此 H在奇偶校验下是对称的，所以 U在网站基础 Us = Udft'U*Udft ( Udft 是离散傅立叶矩阵 s.t. Udft[m,mp] = sqrt(N)^-1 exp(i*j*1im/N) 见下文)，也就是说，可以检查

Jp*Us - Us*Jp = 0,

在哪里

Jp[i,j] = \delta_{i,N-j+1}

是空间求逆矩阵。然而，本征态不满足奇偶性。如 vs是 Us 的本征态， 然后

Jp*vs = \pm vs,

对于 julia 给出的数值结果，这不会发生。这有点奇怪，因为对于低维，比如 N=11没有问题，但如果我去，说 N=1001然后麻烦开始出现。 (在某些情况下，我希望 N 是奇数。原因是我有粒子被约束在酉圆上移动，并且我希望这些位置围绕零角对称。)为了对角化，我使用 Julia 1.2.0和

 LinearAlgebra.eigen(Us).

附录:
感谢 SGJ 指出 DFT 中的明显错误。构造矩阵我做

M = div(N,2)
m = 1
for ii in -M:M
    mp = 1
    for jj in -M:M
        U[m,mp] = exp(2.0im*pi*ii*jj/Nsites) #                             
        mp += 1
    end
    m += 1
end

以便正负频率进入 DFT 并从 -N/2 中选择在动量零附近对称至 N/2其中使用整数除法。

Answer 1

首先，舍入误差通常会轻微破坏对称性，因此与镜像对称性的微小差异(相对误差 norm(Jp*vs - ±vs)/norm(vs) < 1e-12)不应成为问题。

其次，p^2算子的能量特征值是双重退化的(左右波具有相同的能量)，并且退化状态的奇偶性不是由对称性保证的。退化偶数和奇数本征函数(= 驻波)的任何线性组合也是本征函数，因此您可以创建非对称本征函数(例如，左向波而不是驻波)。当你有一个退化时，正确的说法是你可以选择一个本征函数基，它也是一个奇偶本征函数。然而， Julia 的 eigen操作(标准 LAPACK 算法)基本上为退化的特征空间选择一个“随机”基，所以它不一定是你想要的。

第三，您似乎没有正确使用离散傅立叶变换 (DFT)。您实际上是在使用 DFT 在平面波(动量空间)基础上表达二阶导数运算符 (p^2)，但是您发布的答案忘记了混叠——您确实需要同时拥有 正负频率展示。也就是说，一半项的频率应该与i-1成正比。 (由于 Julia 的基于 1 的索引)，另一半与 N+1-i 成正比.这在许多来源中有详细解释，例如these notes .