math - 时间修正的 Verlet 数值积分公式

Question

有一个常用的verlet-integration Johnathan Dummer 在网上的公式，称为 Time-Corrected Verlet。但是我读过几个论坛帖子，人们在某些情况下会得到奇怪或意外的结果。

Formula by Johnathan Dummer:

x1 = x + (x – x0) * dt / dt0 + a * dt^2

还有一个 stackoverflow answer ，其中指出 Dummer 的时间校正公式被破坏，并且海报将他自己的推导呈现为正确的推导。

Suggested correct formula by a stackoverflow answer

x1 = x + (x – x0) * dt / dt0 + a * dt * (dt + dt0) / 2

那么，Dummer 的公式真的被打破了吗？如果是，海报的推导是否更好？

PS:Dummer使用verlet积分公式 x1 = x - x0 + a * dt^2也很奇怪在他的网站上而不是正确的 x1 = 2x - x0 + a * dt^2 .

Answer 1

维基百科页面Verlet integration - Non-constant time differences给出两个公式，不做引用。我自己没有检查过推导，但第二个改进公式的推理看起来很合理。

我已经下载了 Dummer 的电子表格并修改了其中一个公式以使用更正。结果要好得多。



确切的结果以黄色显示，我们看到仅使用具有波动帧速率的普通 Verlet 算法是很糟糕的。 Dummer 的红色时间正确变体非常好，但有点偏离。带有改进校正的深绿色版本要好得多。

对于具有二次解的重力射弹，您可能会发现改进版本是准确的。当度数变得更高时，它将与真实路径不同，可能值得测试以查看我们是否仍能获得更好的近似值。



对 sin 曲线进行相同的计算表明改进的方法要好得多。在这里，时间正确的 Verlet 漂移了很多。改进后的版本更好，与确切答案仅相差一点点。

对于PS。注意如果在TCV公式中设置dt=dt0

x1 = x + (x – x0) * dt / dt0 + a * dt^2

你得到

x1 = x + x – x0 + a * dt^2
   = 2 x – x0 + a * dt^2

原始的 Verlet 公式。