time-complexity - 时间复杂度比较

Question

我得到了这两个算法，每个算法都有两个 for 循环——在我看来，第一个算法的运行时间是二次方的。第二种算法是否具有相同的运行时间 - O(n^2)？

算法 1:

for (int i = 1..n) { 
     for (int j = 1..n) {
          // sort m[i, j]
     } 
}

算法 2:

for (int i = 1..n) { 
     for (int j = i..n) {
          // sort m[i, j]
     } 
}

我检查了以前的类似帖子(大 O 表示法)但找不到任何东西来解决我的问题 - 如果你这样做，请指出正确的方向。

谢谢!

Answer 1

下面分析算法2，另一个类似。

让我们首先同意 sort m[i, j] 是 O((j-i)lg(j-i))。

Alg 2  = O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (j-i)lg(j-i))
      <= O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (n-i)lg(n-i))
      <= O(sum_{i=1}^n (n-i)^2 lg(n-i))
       = O(sum_{i=1}^n i^2 lg(i))
      <= O(sum_{i=1}^n i^2 lg(n))
       = O(n^3 lg(n))

另一方面

Alg 2  = O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (j-i)lg(j-i))                      ; take 1/2 of terms
      >= O(sum_{i=n/2}^n sum_{j=(i+n)/2}^n (j-i) lg(j-i))
      >= O(sum_{i=n/2}^n sum_{j=(i+n)/2}^n (n-i)/2 lg((n-i)/2)))      ; because j>=(i+n)/2
      >= O(sum_{i=n/2}^n ((n-i)/2)^2 lg((n-i)/2)))
      >= O(sum_{i=n/2}^{(n+n/2)/2} ((n-i)/2)^2 lg((n-i)/2)))          ; 1/2 of terms
      >= O(sum_{i=n/2}^{3n/4} (n/8)^2 lg(n/8))                        ; -i >= -3n/4
       = O(n^3 lg(n))