r - AdaptIntegrate 与集成的性能

Question

我想在 中执行数值积分一维 ，其中 被积函数是向量值 . integrate()只允许标量被积函数，因此我需要多次调用它。 cubature package 似乎很合适，但对于一维积分似乎表现很差。考虑以下示例(标量值被积函数和一维积分)，

library(cubature)
integrand <- function(x, a=0.01) exp(-x^2/a^2)*cos(x)
Nmax <- 1e3
tolerance <- 1e-4

# using cubature's adaptIntegrate
time1 <- system.time(replicate(1e3, {
  a <<- adaptIntegrate(integrand, -1, 1, tol=tolerance, fDim=1, maxEval=Nmax)
}) )

# using integrate
time2 <- system.time(replicate(1e3, {
  b <<- integrate(integrand, -1, 1, rel.tol=tolerance, subdivisions=Nmax)
}) )

time1
user  system elapsed 
  2.398   0.004   2.403 
time2
user  system elapsed 
  0.204   0.004   0.208 

a$integral
> [1] 0.0177241
b$value
> [1] 0.0177241

a$functionEvaluations
> [1] 345
b$subdivisions
> [1] 10

不知何故， adaptIntegrate似乎正在使用更多的函数评估来获得类似的精度。两种方法显然都使用高斯-克朗罗德正交(一维情况:15 点高斯正交规则)，尽管 ?integrate添加了“Wynn 的 Epsilon 算法”。这能解释大的时间差异吗？

我愿意接受有关处理向量值被积函数的替代方法的建议，例如

integrand <- function(x, a = 0.01) c(exp(-x^2/a^2), cos(x))
adaptIntegrate(integrand, -1, 1, tol=tolerance, fDim=2, maxEval=Nmax)
$integral
[1] 0.01772454 1.68294197

$error
[1] 2.034608e-08 1.868441e-14

$functionEvaluations
[1] 345

谢谢。

Answer 1

CRAN 中还有 R2Cuba 包，它实现了几种多维集成算法:

我尝试用您的示例函数对此进行测试，在如此简单的情况下，我无法让所有算法都正常工作(尽管我并没有非常努力地尝试)，而且我确实开始工作的方法很少比 adaptIntegrate 慢得多使用默认设置，但也许在您真正的应用程序中，这个包可能值得一试。