linear-algebra - 仅计算矩阵乘积的对角线元素的 BLAS 例程？

Question

假设我有两个矩阵A 和B。我想计算矩阵乘积 A * B 的对角线元素，并将它们放在预先分配的向量 result 中。

是否有 BLAS(或类似)例程来尽可能快地执行此操作？

Answer 1

没有具体的例程。但是，您可以使用矩阵乘法的以下定义。

考虑 C = AB , 和 a <子> ij , b <子> ij , c <子> ij 表示 (i,j)相应矩阵的第 th 个元素。不失一般性，我假设所有 A , B , C是 N x N稠密矩阵。

然后，

c <子> ij = 总和 k=0 N-1 ( a ik , b kj )

因为您只对对角线条目感兴趣:

c <子> ii = 总和 k=0 N-1 ( a ik , b ki ), 对于 i=1,...,N

换句话说，计算i矩阵的第 th 对角矩阵 C你需要在 i 之间找到点积矩阵的第行A和 i矩阵的第 列 B .这可以通过使用点积 BLAS level-1 函数来实现 ?dot .

res = ?dot(n, x, incx, y, incy)

让我们假设矩阵 A和 B存储按列并且可以通过指针访问*A和 *B (其中包含 N*N 值)，而 *C是矩阵 C 的对角线条目的预分配存储(其中包含 N 值)。

下面的循环应该给你对角线:

for (int i=0;i<N;i++)
{
    C[i] = ?dot(N,A[i],N,B[i*N],1);
}

注意，我们正在访问 i矩阵的第行 A通过传递 i 的第一个元素第行:A[i] ，并使用 incx 的增量( N ) .相反，要访问 i矩阵的第 列 B我们传递了 i 的第一个元素第列:B[i*N]并使用 1 的增量.

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注意事项:

• 如果A , B , 和 C具有不同的(但与矩阵乘法一致)维度，只需进行轻微的修改。
• 如果矩阵按行存储，调用?dot应该稍微改变一下
• 上面的伪代码使用了一个通用的?dot功能。实际上，它将是 sdot或 ddot对于单精度或 double 实数，以及 ?dotu 的版本: cdotu和 zdotu分别用于单精度和 double 的复数。
• 它是最高效、缓存友好等的实现吗？可能不会，但如果这成为 N 算法的瓶颈，我会感到惊讶。 x N矩阵 A和 B无论如何都已明确计算。