r - 为什么我的数字不匹配，R mvtnorm 中的多元 t 分布

Question

我试图为遵循 Genz 和 Bretz 的多元 t 分布编写 cdf 算法，R 中的引用包是 mvtnorm。

当我测试我的功能时，我发现我的数字不匹配。在以下示例中，根据 mvtnorm 帮助进行调整，多变量 t 随机变量具有独立分量。所以积分应该只是3个独立概率的乘积

> lower <- -1
> upper <- 3
> df <- 4
> corr <- diag(3)
> delta <- rep(0, 3)
> pmvt(lower=lower, upper=upper, delta=delta, df=df, corr=corr)
[1] 0.5300413
attr(,"error")
[1] 4.321136e-05
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

报出的误差为4e-5，误差与独立概率的乘积相比

> (pt(upper, df) - pt(lower, df))**3
[1] 0.4988254

是

0.5300413 - 0.4988254 = 0.0312159

对于大约相同范围的各种示例，我自己的代码与 R mvtnorm 相比存在差异。

我主要是 R 的初学者。那么，我做错了什么或有什么问题？

(我没有在 R-help 邮件列表上注册，所以我在这里尝试。)

更新:正如 pchalasani 解释的那样，我的统计数据是错误的，我自己代码中的错误在一些辅助函数中，而不是在 t 分发代码中。
查看不相关并不意味着独立的一个好方法是查看条件分布。
以下是四分位数(以列变量为条件的分布)的独立二元随机变量(10000 个样本)的列频率 %*100。

二元不相关正态变量

([[26, 25, 24, 23],
  [24, 23, 24, 25],
  [24, 27, 24, 24],
  [24, 23, 26, 25]])

双变量不相关 t 变量

([[29, 20, 22, 29],
  [20, 31, 28, 21],
  [20, 29, 29, 20],
  [29, 18, 18, 29]])

第一列和最后一列的分布与中间列有很大不同。
(抱歉，没有 R 代码，因为我不知道如何用 R 快速做到这一点。)

Answer 1

对于联合非高斯分布的随机变量，零相关并不意味着独立!

让我详细说明一下:这里没有错误。缺陷在于您的假设是，当多元 Student-t 随机变量不相关时，它们也是独立的，这绝对不是这种情况:唯一没有相关性意味着独立的多元分布类别是 MV 高斯分布。

要查看共同遵循 MV Student-T 分布的两个不相关随机变量不是独立的，请考虑 n=2 的情况。 :

require(mvtnorm)
x <- rmvt(100000, sigma = diag(2), df=4, delta = rep(0,2) )

现在每列 x表示两个随机变量的实现。我们首先检查它们的相关性是否相当小:

> cor(x[,1], x[,2])
[1] -0.003378811

然而 x[,1]的平方的相关性和 x[,2]高达 30.4%，即绝对不为零，证明 x[,1]和 x[,2]不是统计独立的:

> cor(x[,1]^2, x[,2]^2)
[1] 0.3042684