performance - 使用 copula 分布的总和分位数太慢

Question

尝试使用带有 Beta 边际的内置 copula 分布(Clayton、Frank、Gumbel)为两个相关随机变量之和的分位数创建一个表。试过 NProbability和 FindRoot用各种方法——不够快。
我需要探索的 copula-marginal 组合的一个例子如下:

nProbClayton[t_?NumericQ, c_?NumericQ] := 
        NProbability[  x + y <= t, {x, y}  \[Distributed]    
               CopulaDistribution[{"Clayton", c}, {BetaDistribution[8, 2], 
                                                   BetaDistribution[8, 2]}]]

对于数字概率的单一评估，使用

nProbClayton[1.9, 1/10] // Timing // Quiet

我得到

{4.914, 0.939718}

在 Vista 64 位 Core2 Duo T9600 2.80GHz 机器上 (MMA 8.0.4)

要获得总和的分位数，使用

FindRoot[nProbClayton[q, 1/10] == 1/100, {q, 1, 0, 2}// Timing // Quiet

用各种方法

( `Method -> Automatic`, `Method -> "Brent"`, `Method -> "Secant"` ) 

大约需要一分钟才能找到一个分位数:时间是

{48.781, {q -> 0.918646}}
{50.045, {q -> 0.918646}}
{65.396, {q -> 0.918646}}

对于其他 copula-marginal 组合，时序稍微好一些。

需要:任何改善计时的技巧/方法。

Answer 1

具有参数 c 的 Clayton-Pareto copula 的 CDF可以根据

cdf[c_] := Module[{c1 = CDF[BetaDistribution[8, 2]]}, 
   (c1[#1]^(-1/c) + c1[#2]^(-1/c) - 1)^(-c) &]

然后， cdf[c][t1,t2]是 x<=t1 的概率和 y<=t2 .这意味着您可以计算出 x+y<=t 的概率。根据

prob[t_?NumericQ, c_?NumericQ] := 
   NIntegrate[Derivative[1, 0][cdf[c]][x, t - x], {x, 0, t}]

我在我的机器上的时间是

prob[1.9, .1] // Timing

(* ==> {0.087518, 0.939825} *)

请注意，我得到的概率值与原始帖子中的值不同。但是，正在运行 nProbClayton[1.9,0.1]产生关于缓慢收敛的警告，这可能意味着原始帖子中的结果已关闭。另外，如果我更改 x+y<=t至 x+y>t在 nProbClayton 的原始定义中并计算 1-nProbClayton[1.9,0.1]我收到 0.939825 (没有警告)这与上面的结果相同。

对于我得到的总和的分位数

FindRoot[prob[q, .1] == .01, {q, 1, 0, 2}] // Timing

(* ==> {1.19123, {q -> 0.912486}} *)

同样，我得到的结果与原帖中的结果不同，但与之前相似，更改 x+y<=t至 x+y>t并计算 FindRoot[nProbClayton[q, 1/10] == 1-1/100, {q, 1, 0, 2}]为 q 返回相同的值如上。